6 | W. Sierpiåski. (LIRONS 
Tout ensemble de points est ecelarirtseme, 
om: bien il se décompose en un ensemble 
clairseme et unvemsembie densemennumis 
m & m e !). 
Un ensemble P pour lequel F'ensemble P,=PP" est vide 
est appelé isolé. L'ensemble N=P2A est alors vide å plus 
forte raison : tout ensemble isolé est donc clairsemé. 
Un ensemble P pour lequel la dérivée P2 est vide est 
appelé réductible. "Tout ensemble réductible est clairsemé 
(puisque I'ensemble PA est, comme on voit sans peine, 
contenu dans I'ensemble P2). 
Or un ensemble clairsemé, donc contenant seulement 
des points séparés, est, d'aprés notre théoréme, effective- 
ment énumérable. Nous avons donc ce théoréme: 
Tout ensemble isolé, tout ensemble 
re dur etible et: toute nsem;b les ehanmseniare 
es (ert eCeba vie me ditten Una leynidkbilre 
Tout ensemble fermé dénombrable est, comme on le voit 
sans peine, clairsemé (car il ne contient pas de noyau parfait, 
qui aurait la puissance .du continu). Il s'ensuit, d'aprés 
notre théoreme, que tout ensemble ferme de 
nombrable est effectivement énuméra ble. 
Soit maintenant f(x) une foncetion possédant une infinité 
dénombrable de points de discontinuité. Les points ou 
NAN : 1 
F'oscillation de la fonction est >+ forment, comme on sait, 
un ensemble E, fermé, donc, dans le cas actuel, fermé et dé- 
nombrable, et par suite effectivement énumérable (d'aprés 
une loi qu'on peut poser une fois pour tous les ensembles 
!) Cf. A. Denj oy: Journ. de Math. (7e série) t. I fasc. 2 (1915). p. 240. 
Remarquons que ce théoreéme peut étre sans peine démontré directement, 
sans faire appel aux nombres transfinis. Il suffit ä ce but d'appeler noyau 
N d'un ensemble donné P la somme de tous les ensembles denses en soi 
contenus dans P (s' il y en a). L'ensemble N sera évidemment dense en 
lui-méme et I'ensemble S= P—N ne contiendra aucun ensemble dense en 
lui-méme (puisque tout sous-ensemble dense en lui-méme de S serait en 
méme temps un sous-ensemble dense en lui-méeme de P, et entrerait par 
suite dans N), c'est å dire sera un ensemble clairsemé. [Cf. F. Hausdorff: 
Grundzäge der Mengenlehre. Leipzig 1914, p. 226]. 
