4 Frithiof Nevanlinna. (LXIV 



9(0=«(l-0"~'bzw. 9(0=7:^(log ^j""'(«>o). 

 Die erstgenannte liefert gemäss (1)' den Mittel wert 

 (4) Fa (z) = ^f (z-f)^-' F{t)dt = a) (l-O""' F (zf) dt 



und eine Summationsmethode welche, wie M. R i e s z i) 

 gezeigt hat, als eine leichte Modifikation der gewöhnlichen 

 Césaro'schen Summation anzusehen und mit dieser äqvi- 

 valent ist. Die zweite Funktion wiederum ergibt den Mittel- 

 wert 



1 fl' z\a—i dt 



(5) ^^(^)-^7^r\/N7 ^(0- = 



r(«)o \ // z 



und eine Summationsmethode, welche fiir ganzzahlige po- 

 sitive Werte von a, bis auf eine kleine Abänderung, mit 

 der Hölder'schen Methode der iterierten arithmetischen Mit- 

 tel iibereinstimmt. Der Beweis dieser Behauptung wiirde 

 uns bei dieser Gelegenheit zu weit von unserem Ziele ab- 

 lenken und sei daher iibergangen. Nach einem bekann- 

 ten Satz von Knopp und S c h »i e e besitzen die Mittel- 

 bildungen (4) und (5) dasselbe »Konvergenzfeld» fiir einen 

 bestimmten Wert der Summenordnung a. 



3. Eine der schönsten Anwendungen der Césaro'schen 

 (öder Hölder'schen) Summationsmethode ist die von meh- 

 reren Forschern, vor allén F e j é r und M. R i e s z gemachte 

 Anwendung auf die Theorie der Fourier'schen Reihen. Be- 

 zeichnet f (x) eine in I ebesque'schen Sinne integrabele 

 Funktion mit der Periode 2?! und 



. +?^ sin (n +4) « 

 (6) s„ (X) = ^ / /(x + «) ^~du 



-51 2 sin 2 



') Une méthode de sommation équivalente å la méthode des. moyennes 

 arithmétiques. Comptes rendus, t. 152 p. 1651, 12 juin 1911. 



