A N:o 3) |Ober die Summation der Fourier'schen Reihen. 5 



die n^^ Partialsumme der Foiirier'schen Reihe dieser Funk- 

 tion, so lässt sich bekanntlich aus der blossen Stetigkeit oder, 

 allgemeiner, Regularität ^) der Funktion / im Punkte x noch 

 nicht 



lim s„ (X) = / (X) 



n=oo 



schliessen. Dagegen konvergieren, wie F e j é r 2) als erster 

 bewies, die Cesaro'schen (oder Hölder'schen) Mittel erster 

 Ordnung der Partialsum-men s^ gegen / (x) in jedem Punkte, 

 wo / (x) regulär ist, und zwar gleichmässig in jedem in- 

 neren Teil eines Stetigkeitsintervalles. Später verschärften 

 M. R i e s z ^) und C h a p m a n *) dieses Resultat, indem 

 sie zeigten, dass nicht nur die Cesaro'schen Mittel erster 

 Ordnung sondern auch diejenigen niederer und zwar jeder 

 noch so kleinen positiven Ordnung dieselben Eigenschaften 

 besitzen. 



Ich werde im folgenden einen allgemeinen Satz iiber 

 die Summabilität Fourier'schen Reihen aufstellen und bewei- 

 sen, der die oben erwähnten Resultate als Spezialfälle enthält. 

 Aus Bequemlichkeitsgriinden werde ich hierbei statt die 

 Fourier'sche Reihe, das zwischen endlichen Grenzen genom- 

 mene Fourier'sche Integral 



sin z (ii — x) i '^ sin zu 



/r»x T^ / ^ 1 r , / X »in z ni — X) , 1 r , . , sm 2 



a U — X a — X U- 



du 



behandeln, welches ja in bezug auf die Konvergenz und 

 Summabilität mit der entsprechenden Fourier'schen Reihe 

 vollkommen äquivalent ist. Der in Aussicht gestellte Satz, 



^) Wir sägen mit Lebesque, die Funktion f verhalte sich in dem 

 Punkte X regulär, falls 



lim (f (X -\-h) + f{x — b)- 2f(x)} - o. 

 h=o ' 



*) Fejér: Untersuchungen uber die Foiirier' schen Reihen. Math. Ann. 

 Bd 58. 1904. 



') M. Riesz: Sur les series de Dirichlet et les series entiéres. Comptes 

 Rendus t. 149, 22 novembre 1909. 



*) Chapman: Non integral orders of siimmability . London Math. Soc. 

 Proc. Ser. 2. Vol. 9, 1911 p. 390. 



