6 Frithiof Nevanlinna. (LXIV 



dessen Beweis der Hauptzweck dieser Schrift ist, lautet 

 folgendermassen: 



S a t z. Sei f (x) eine im Intervalle a^x'^b im Le- 

 besque' schen Sinne integrierbare Funktion und o (t, z) eine 

 Funktion der Klasse (2), wo die Funktion cp, ausser der all- 

 gemeinen Bedingung (3), folgenden spezielleren Bedingungen 

 geniXgt: 



V die Funktion (p (t) ist fur o<f<l monoton wachsend; 

 2° cjp (O wird fiir t~^ 1 nicht stärker unendlich als dass der 



Grenzwert 



1-8 ^ 1 j 



lim / (p (t) log dt = lim / 9 (1—0 log - dt 



endlich ist. 



Dann konvergiert fiir z — ^oo 



z 1 



Fa (X, z) --= Jo (t, z) F (x, t)dt = Jcp (t) F (x, zt) dt, 



o o 



wo F (x, z) den Ausdruck (7) bedeutet, in jedem inneren Punkte, 

 wo sich f (u) regulär verhält, gegen den Grenzwert f (x), und 

 zwar gleichmässig in jedem inneren Teil eines Stetigkeitsinter- 

 valles. 



4. Es soll also gezeigt werden, dass der Differenz 



(8) Ra (X, z) = Fa (x, z) — f (x) = J (p (/) [F (x, zt) — f(x)] dt 



o 



fiir z — ^00 in jedem inneren Punkte des Intervalles (a, b), 

 wo / regulär ist, gegen Null konvergiert und zwar gleich- 

 mässig in jedem inneren Teil eines Stetigkeitsintervalles. 

 Aus der bekannten Formel 



folgt, da a — X und b — x fiir ein x innerhalb (a, b) bzw. nega- 

 tiv und positiv sind, dass 



