A N:o 3) tiber die Summation der Fourier'schen Reihen. 



2=00 ^ a—X U 



Es känn also 



, 6 — X 



11 > ~ sm zu , 



a — X U 



und somit nach (7) 



(9) F{x, z)-fix) = i/ \f(x + u)-f{x)f^—du + e(z) 



a — X u 



gesetzt werden, wo t (z) eine Grösse bezeichnet, welche fiir 

 z — ^00 verschwindet und zwar gleichmässig in jedem Inter- 

 valle wo / (x) beschränkt ist. 



Nach einem bekannten Satz von R i e m a n n-L e b e s- 

 g u e ^) ist 



lim f ii)(u) sin zu du = o 



2=00 



fiir jede innerhalb der Integrationsgrenzen im Lebesque'schen 

 Sinne integrabele Funktion ^|). Folglich ist fiir jedes noch so 

 kleine positive rj 



9 sin zu 



lim f[f(x + u)-f(x)]——du = 



z= 00a — X U 



6 — * sin zu 



lim / [/(x + u) — /(x)]— — du=o; 



2=00,, U 



wir können also 



1 sin zu 



F{x,z)~-f(x) = lJ\f{x + u)-f(x)]\—du-hs(z) 



oder, nach einer einfachen Umformung, 



^) Lebesque: Lecons sur les series trigonométriques, p. 61. 



