A N:o 3) Cber die Summation der Fourier'schen Reihen. 13 



lim CD (x, h) == o 



h = o 



in jedem inneren Teile eines Stetigkeitsintervalles der Funk- 

 tion / erforderlich ist. Dies ist nun auch der Fall, denn 

 man hat 



ui(x,h) = [f(x-}-h)--f{x)] + [f{x-h)-f(x)] 



und die Funktion / ist in jedem inneren Teil eines Stetig- 

 keitsinter\ allés gleichmässig stetig. Hiermit ist der Beweis 

 unseres Satzes erbracht. 



7. Durch Spezialisierung der Funktion cp erhält man 

 aus dem oben bewiesenen allgemeinen Satze eine Menge 

 speziellerer Sätze iiber die Summabilität des zwischen end- 

 lichen Grenzen genommenen Fourier'schen Integrals (öder 

 der entsprechenden Fourier'schen Reihe). 



Die Resultate von Fejér, M. Riesz und C h a p- 

 m a n gehen aus unserem Satze hervor durch die Annahme 



(p{t) =a (1— 0"~\ (o < a ^ 1) 



welche, wie schon hervogehoben wurde, zu eine Summations- 

 methode fiihrt, die mit der Césaro'schen Summationsmethode 

 der Ordnung a im Wesentlichen iibereinstimmt. Diese 

 Funktion geniigt in der Tat, wie man sofort kontrolliert, 

 sowohl der Bedingung (3) als den Bedingungen 1° und 2° 

 unseres Satzes und zwar fiir jedes noch so kleine positive a^ 1. 

 Die Césaro'sche Summation ist in bezug auf ihre kon- 

 vergenzerzeugende Wirkung um so schwächer, je kleiner die 

 Ordnungszahl a ist. In dieser Hinsicht diirfte es von Inte- 

 resse sein zu bemerken, dass der oben bewiesene allgemeine 

 Satz Annahmen der Funktion (p zulässt, welche zu Summatio- 

 nen fiihren, die schwächer sind als die Césaro'sche, wie klein 

 in der letzteren die positive Summenordnung a auch ange- 

 nommen werden mag, welche also der gewöhnlichen Kon- 

 vergenz näher stehen als jeder Grenziibergang mit Césaro'- 

 schen Mittelbildungen. Eine solche Summationsmethode 

 ergibt sich z. B. aus der Annahme 



