2 Felix Iversen. (LXIV 



2. Wir fangen damit an, mit G r o s s ^) folgende Defi- 

 nitionen einzufiihren: 



Mit dem Wertebereich Wj von / (z) innerhalb z/im Punkte 

 2 = 00 verstehen wir die Gesamtheit der Werte, die / (z) 

 flir beliebig grosses I z | innerhalb J annimmt. 



Mit dem Häufungsbereich H^ von / (z) innerhalb J im 

 Punkte z = 00 verstehen wir die Menge der Werte, denen 

 f (z) in J und ausserhalb jedes Kreises beliebig nahe kommt. 



Mit dem Konvergenzbereich K^ von / (r) innerhalb J im 

 Punkte :: =^:= oo verstehen wir die Gesamtheit der Konvergenz- 

 werte (öder der asymptotischen Werte) von / (z) im Punkte 

 z = 00 und innerhalb J. Dabei wird unter Konvergenzwert 

 jeder solche Wert w^ verstanden, dem ein innerhalb J nach 

 z — 00 gehender Weg, Konvergenzweg, Fa, entspricht, auf 

 dem / (z) gegen den Wert w^ konvergiert ^). 



In genau derselben Weise fiihren wir den Wertebereich 

 W^, den Häufungsbereich H^ und den Konvergenzbereich K^ 

 von / (z) auf dem Rande S von J im Punkte z =oo ein be- 

 ziiglich der Werte von / (z) auf dem Rande von J in der Um- 

 gebung des unendlich fernen Punktes. 



3. Die eingefiihrten Bereiche unte!"liegen gewissen ein- 

 fachen Beziehungen, die teils aus den Definitionen sofort 

 hervorgehen, teils in bekannter Weise abgeleitet werden. 



Die Menge H^ ist eine abgeschlossene Menge, die sowohl 

 Wj als auch Hy und VVv enthält. Besonders ist also die 

 Ableitung WJ von Wj (ebenso wie diejenige Wy^' von W£) 

 in H^ enthalten, aber känn Hj auch Punkte enthalten, die in 



') Gross 1, Abt. IV, Nr 1. 



^) DenUen wir uns allén endlichen Punkten von /J das entsprechende 

 Element von iv:=zf'[z) zugeordnet, und sodann alle diese Funktionsele- 

 mente umgekehrt, so erhalten wir einen dem Bereich jd zugeordneten Teil 

 der Umkehrfunktion z:=z(p{w) von wr=:f(^z}, den wir kurz <fj{io) nennen. 

 Nach der allgemeinen Theorie der Umkehrfunktionen ist jeder Konvergenz- 

 wert Wq von f{z) innerhalb /i eine transzendente Singiilaritåt von (fj{iv), 

 d. h. es gibt einen stetigen Weg Gw^ der w-Ebene, der gegen w^ konvergiert 

 und ein solches Element von z =r (fj{w) dass, wenn dasselbe längs Gm,, gegen w^ 

 analytisch fortgesetzt wird, z längs einer stetigen Kurve Pwa innerhalb ^ 

 ins Unendliche ruckt. (Vgl. A. Hurwitz; Sur les points critiqiies des fonc- 

 tions inverses, Comptes Rendus de TAc. des Se, T. 143, 1906 und T. 144, 

 1907. — Siehe auch Iversen I, Nr 8). 



