A N:o 4) Zuni Verhalten analytischer P^unktionen. 3 



endlicher Entlenunig von Wj fallen (z. B. immer wenn Wj 

 leer ist). Ebenso ist Z/^' abgeschlossen und enthält sowohl 

 Wj; als W^;'. Schliesslich bemerken wir, dass K-^ sowohl in 

 Hy als in K^ eingeht, nnd dass alle diese Mengen wieder 

 in Hj enthalten sind. 



Ist besonders der Bereich J zusammenhängend in der 

 Umgebung des unendlich fernen Punktes, d. h. von keiner 

 öder einer einzigen unendlichen Randkurve begrenzt, während 

 alle andere Randkurven endlich sind, so ist auch Hj (nicht 

 aber immer WJ) zusammenhängend. 



In dem noch spezielleren Falle, wo J einfach zusammen- 

 hängend in der Umgebung des unendlich fernen Punktes ist, 

 d. h. nur endlich viele Randkurven besitzt, von denen eine 

 unendlich ist und somit zwei Zweige, den rechten 2^ (r) und 

 den Unken ^ (Z) ins Unendliche erstreckt, so besteht ausser- 

 dem noch H^ aus zwei Kontinuen (die zwar einander teil- 

 weise öder ganz iiberdecken können). Wir können sie als 

 rechts- und linksseitigen Häufungsbereich unterscheiden — 

 H^(r) bezw. H^(I) — und dieselbe Unterscheidung auf 

 Wj; und Kj^ ausdehnen ^). 



4. Wir haben in der Folge öfters noch ganz besondere 

 Bereiche ^zu betrachten, die folgende Eigenschaften besitzen: 



Wir nehmen an, es gebe einen endlichen Wert w^ und eine 

 positive Zahl r so dass \f{z) — Wo\^r auf dem Rande eines 

 Teilbereiches J' von J ist, während Ifiz)- — Wo|<r in einem 

 inneren Punkt - von J'. Dieser Punkt z gehört dann einem 

 bestimmten, zusammenhängenden Bereich z/„,^ (r) innerhalb 

 J' an, der durch folgende drei Bedingungen definiert ist: 

 1° / (z) ist regulär innerhalb J„,^ir) und auf seinem Rande, 

 2° innerhalb ^u,„(/-) ist \ f (z} — Wo\<r, 3° auf dem Rande 

 von Jf„^{r) ht \f{z) — w,,] = r. Den Bereich ^„,„(r) können wir 

 auch erhalten in dem wir das einem inneren Punkt r desselben 



') Obige Betrachtungeii lassen sich unmittelbar auf solche Bereiche /i 

 anwenden, die ausserhalb eines hinreichend grossen Kreises in eine éndliche 

 Anzalil verschiedener, in der Umgebung des unendlich fernen Punktes ein- 

 fach zusammenhängender Bereiche z/ , /I", . . ., /^^^' zerfallen. JTj ist aus 

 n, H^ aus 2 n Kontinuen, H/*) bezw. Hj.^*{r) und H^.^){1) (y = 1, 2, . . ., n) 

 zusammengesetzt. 



