A N:<> 4) Ziini Verhalteii analylischer Funktionen. 5 



7. Weiiden wir obige Sätze aiif einen uneiidlichen Bereich 

 J^(r) (vgl. Nr 4) an, so schliessen wir, da die Punkte von 

 H^ sämtlich der Peripherie des Kreises c^„(r) angehören, 

 dass Hj entweder deji ganzen Kreis c^„^ (r) umfasst, öder, 

 mit H^ zusammenfallend, sich auf eine Menge von Punkten 

 seiner Peripherie reduziert. Im letzteren Falle gilt der Satz: 



Hat der Bereich Hj keinen Punkt innerhalb c^^(r), so 

 besteht er aus einer Menge von Punkten der Peripherie vom 

 Linienmass Null ^). 



Es sei, unter der Voraussetzung dieses Satzes, r^ < r. 

 Alle innerhalb z/^^ (r) fallende Bereiche J^^Jr^) sind dann 

 endlich uiid ebenso ihre Anzahl. Wäre m der Tat eine unend- 

 liche Anzahl endhcher Bereiche ^„^„(ri) vorhanden, so mtisste, 

 da nach Nr 4 dem Rande jedes solchen Bereiches wenigstens 

 ein Umlauf der Peripherie von c^^ir-^) entspricht, auch Hj 

 diese Kreisperipherie umf assen, wider der Voraussetzung. 

 Läge anderseits ein unendlicher Bereich ^„,„(ri) vor, der 

 dann entweder unendhch viele endhche Ränder öder wenig- 

 stens eine unendliche Randkurve hatte, so wiirden wir ent- 

 weder auf den obigen Widerspruch gefuhrt öder miissten 

 wir aus der Schlussbemerkung in Nr 4 folgern, dass Hj 

 wenigstens einen Punkt der Kreisperipherie c^^Jr-i) enthielte, 

 was auch unserer Voraussetzung widerspricht. 



Wir schliessen also, dass J^^^ (r) nur eine endliche Anzahl 

 von Bereichen Ju^Jr^) enthält, die alle endlich sind, und, da 

 dieser Schluss fur jedes ri<r gilt, dass der Bereich J^^ (r) 

 durch die Fnnktion w ^ f (z) auf eine libei den Kreis fy,^ (/) 

 gebreitete, endlich vielblättrige Riemannsche Fläche abgebil- 

 det wird. Einen solchen Bereich -^„,„(r) nennen wir einen 

 endlich uielwertigen. 



Fiir diese Bereiche sind offenbar Wj und W^ leer, wäh- 

 rend, nach dem oben gesagten, H^ und H^ zusammenf allén. 

 Weiter ist Kj mit Hj und f/v identisch, wie wir jetzt zeigen 

 werden. 



Der Bereich Ji„^(r) hat nur eine endUche Anzahl von end- 

 iichen Randkurven, und auf jeder unendlichen Randkurve 



') I versen II, Nr 15; Gross II, Abt. IV, Nr 5. 



