A N:o 4) Zuni Verhalten analytischer Funktionen. 7 



woUen nuii zeigeii, dass aiich diejeiiigeii Punkte der Meiige 

 M, die Wj als Randpunkte angehöreii, in Kj vorkommen, 

 (unter Randpiinkt von Wj jeden Punkt verstanden dessen 

 noch so kleine Umgebung sowohl Punkte von Wj als Punkte 

 ausserhalb W^ umfasst). Wir beweisen also den Satz: 



Jeder Randpunkt von Wj gehört wenigsiens einem der Be- 

 reichc Hy und K^ an. 



Es sei w' ein ausserhalb //v fallender Randpunkt von Wj. 

 Fällt er selbst ausserhalb Wj, so geht er nach Satz II in K^ 

 ein. Gehört er aber Wj an, schlagen wir einen Kreis c„,, (r-^), 

 der ganz ausserhalb H^ liegt, und betrachten die entsprechen- 

 den Bereiche J^^, (i\) innerhalb J (vgl. Nr 4). Von endlich 

 vielwertigen (endlichen und unendlichen) solchen Bereichen 

 ist nur eine endliche Zahl vorhanden, weil sonst das ganze 

 Innere von c^,, (r^) dem Bereich Wj angehören miisste. Da 

 aber w' in Wj eingeht, muss es also entweder nicht endlich 

 vielwertige Bereiche J^„, {i\) geben, in denen die Gleichung 

 / (r) = w' nur endlich viele Wurzeln hat, und dann ist nach 

 Satz II w' in K^ enthalten, öder aber es muss einen Bereich 

 JtD'(^i) g^ben — wir nennen ihn kurz J^ — wo unendlich viele 

 dieser Wurzeln liegen. 



Nun sei ra < r^, and betrachten wir die Bereiche z^,, (r2) 

 innerhalb J^. Wie oben schliessen wir dass unter ihnen ent- 

 weder ein er da ist, dessen Konvergenzbereich w' enthält, 

 womit der Beweis dann erbracht ist, öder auch gibt es unter 

 den J^, (rg) einen Bereich z/2, dessen Wertebereiche w' ange- 

 hört. 



So fortgehend erhalten wir entweder einmal einen Bereich 

 -^u»' (^n)' dessen Konvergenzbereich w' enthält, öder eine 

 unendliche Folge von ineinander gereihten unendlichen Be- 

 reichen J^, J2, ..., Jn, •••■ Nehmen wir letzteren Falls lim r„=0 



n=oo 



und ziehen eine Kurve F die alle diese Bereiche der Reihe 



nach durchsetzt, so ist auf F lim / (z) = w' und somit w' ein 



2=00 



Konvergenzwert von / (2) innerhalb J, w. z. b. w. 



9. Vorstehender Beweis gibt Aufschluss iiber gewissc 

 Stetigkeitsverhältnisse bei Konvergenzwerten von / (z) inner- 

 halb J. Wir schliessen nämlich: 



