A N:o 4) Zum Vcrhaltcn analytischer Funktionen. 9 



Ersteiis folgt ans Satz V, da Hj beschränkt ist, dass Kj 

 iiur den Wert w' umfasseii känn, dass also die Umkehr- 

 fiinktion z =^ (pj (w) von w = f (z) den Punkt w' als einzige 

 transzendente Singularität hat (vgl, Fussnote^) S. 2), und somit 

 längs jedem w' vermeidenden Weg, der nicht aus c,^^(r) 

 hi nan stritt, fortgesetzt werden känn. Es seien r^, rg, ..., 

 r„, ... die Wurzeln der Gleichung / (r) = w' auf ^^ (vgl. 

 Schlussbemerkung in Nr 4), und b ein kleiner, innerhalb 

 r,j, (r) fallender Bogen um w', der diese Peripherie in Wi und 

 W2 trifft. Auf ^j., nahe den Punkten r2, Zg, ...,2„, ... fallen 

 Wurzeln der Gleichung / (z) = w^, deren entsprechende Ele- 

 mente von (pj(w) wir von w-^ längs b nach W2 fortsetzen. 

 Da auf b kein transzendenter Punkt vorhanden ist, erhalten 

 wir in der r-Ebene kleine Bogen /^a, (^s, ■••, /?„»•••» die die 

 Punkte Z2, Tg, ..., r„, ... von z/,„ (/) abscheiden und so diesen 

 Bereich auf eineii neuen ^j reduzieren, fiir den Hj^ (r) aus 

 der bei w' eingebogenen Kreisperipherie c^^,^ (r) besteht, wäh- 

 rend H^ (/) wie vorher mit dem Punkte w' zusammenfällt, 

 und somit ausserhalb H^ (r) liegt. Da nun J7^ in Hj ein- 

 geht, Hj aber nach Satz I keinen von if ^ verschiedenen Rand- 

 punkt aufweisen känn, so miisste der zu z/j gehörige Bereich 

 //jj den ganzen ausserhalb des eingebogenen Kreises c\^^ (1) 

 fallenden Teil der Ebene umfassen, was aber unmöglich ist, 

 da ja Hj^ nur einen Teil von H^ ausmachen känn. Unser 

 Satz ist hiermit bewiesen. 



Nun werden wir an einem Beispiel zeigen, dass obiger 

 Satz nicht mehr gilt, wenn der Bereich z/„,^ (r) durch einen 

 beliebigen Bereich z/ ersetzt wird. 



Wir betrachten wieder die Funktion w — e^ und ziehen 

 den Halbstrahl arg z = (p^ (^ < ^^ < 71) und die oberhalb 

 der reellen Achse fallenden unendhchen Kurven, auf denen 

 e^ — - 1 = -. Von den Kurven unterdriicken wir nun die 

 links von dem Halbstrahl fallenden unendlichen Zweige, von 

 diesem die zwischen den Zweigen ein und derselben Kurve 

 fallenden Stiicke. Die so erhaltene Kurve werde als -2'j.gewählt, 

 während ^i mit der negativen reellen Achse zusammenfallen 

 möge. Fiir das von diesen Linien begrenzte /J besteht H ^ 



