A N:o 4) Zuni Verhaltcn analylischer Funktionen. 11 



13. Wenn H^ iiicht die gaiizc Ebeiie umfasst, iincl ebcnso, 

 weim VVj wenigstens drci Werte auslässt, so besteht Kj aus 

 höchsteiis einem Punkt. Hj seiaerseits umfasst iiur einen 

 Teil der Ebene, wenu Wj "weiiigstens drei Werte auslässt 

 von denen mindestens zwei ausserhalb Fl ^ fallen. Denn 

 gingen die letztgenannten Werte beide in H^ ein, so miissten 

 sie nach Satz II auch in Kj enthalten sein, und dann könnte, 

 nach Satz V, Wj nicht drei Werte auslassen. Ebenso sehen 

 wir, dass, wenn hj^, h^, ...,/?„ (i}^2) Koutinuen ausserhalb 

 //v sind, die Punkte w^, bezw. w^, ..., w„ ausserhalb Wj ent- 

 halten^), auch jedes der Kontiniien /ij, h^, ..., h^ ausserhalb 

 Hj fällt, bis auf höchstens eines derselben, /?»., das dann 

 Hj, und bis auf den Punkt Wv ganz W^ angehört. 



14. Hj känn mit H^ zusaminenfallen nur wenn H^ zu- 

 sammenhängend ist, also H^ (r) und H^ (I) wenigstens einen 

 gemeinsamen Punkt haben. Wenn aber H^^ (r) und H^ (Z) 

 keine gemeinsame Punkte, haben, und nur dann, gibt es ein 

 (einziges) Kontinuum ausserhalb. /f 2;' ^^S''^^^^* ausschliess- 

 lich von Punkten dieses Bereiches, worunter Punkte von 

 sowohl H^ (r) als H^ (/). Nach Satz I gehört dieses Kon- 

 tinuum gänzlich H^ an, welcher Bereich sich also ausser- 

 halb H^ erstreckt. Jedes andere ausserhalb H^ gelegene 

 und nur von Punkten dieses Bereiches begrenzte Kontinuum, 

 weist in seiner Berandung Punkte entweder nur von H^(r) 

 öder nur von H^{1) auf, und känn, aber braucht nicht in 

 Hj einzugehen. 



Haben H^ (r) und H^ (1) gemeinsame Punkte, so können 

 auch die gleichzeitig von H^ (r) und if^ (Z) begrenzten, ausser- 

 halb H^ fallenden Koutinuen entweder in H^ eingehen öder 

 nicht, was auch gilt wenn H^ (r) und H^ (I) zusammenf allén. 



15. Um einige verschiedene Fälle an einfachen Beispielen 

 zu beleuchten betrachten wir die Funktion w — cotang z in 

 Bereichen z/, deren Rand Teile der positiven imaginären 

 Achse Q z-^z^ J und der Kurven 2_^ ^-^: y = cos ^ — 2 ^^^^ 

 J^_2 ^2 • y = cos ^ -h ^ enthält. 



^) Fur n r= 2 muss noch ein dritter Punkt w^ ausserhalb Wj voraus- 

 gesetzt werden. 



