A N:o 4) Zuiii Vcrhalten analytischer Funktionen. 13 



Sätze I — VI stiitzen. Eiiie weit eiiigreifeiidere Beziehung 

 gibt ein Satz von G r o s s i), dem wir folgende allgemei- 

 nere, aus der CTross'schen unmittelbar abzulesende Fassung 

 geben: 



Wird eine einfache, geschlossene Kurve g, die durch 

 keinen gemeinsamen Punkt von H^ (r) und H^ (t) geht, in 

 einem bestimmten Sinn durchlaufen, und enthält sie einen 

 Bogen innerhalb Hj, dessen Anfangspunkt H^ (Z), Endpunkt 

 H^ (r) angehört, so enthält sie auch einen Bogen innerhalb 

 Hj, dessen Anfangspunkt H^ (r), Endpunkt H^ (/) an- 

 gehört. 



Der Beweis, fiir den G r o s s auf den eines spezielleren 

 Satzes hinweist, diirfte in seinem Sinne etwa folgendermassen 

 zu fiihren sein: 



Nach unseren Voraussetzungen känn es, da H^; (/') und 

 H^ (Z) abgeschlossene Mengen sind, nur eine endliche Anzahl 

 von Bogen auf g geben, von denen nur die Endpunkte H^ 

 angehören und deren Anfangspunkt H^ (/) und Endpunkt 

 H^ (r), öder deren Anfangspunkt Hj~ (r) und Endpunkt H^; (1) 

 angehört. Nach unserer Annahme gehört wenigstens einer 

 ersterer Bogen, er heisse b, H^ an, und wir haben zu bewei- 

 sen, dass auch von den Bogen letzterer Art, die inimer vor- 

 handen sind, wenigstens einer H^ angehört. Den Beweis 

 fiihren wir indirekt, machen also die Antithese, jeder derariige 

 Bogen falle ausserhalb Hj. 



17. Fiir den Beweis umgeben wir H^(r) und H^(l) mit 

 Kurven so nahe ihren Rändern, dass die so erweiterten Be- 

 reiche H^;' (r) und H^' (Z) keine gemeinsame Punkte auf g 

 haben und von jedem der oben genannten, endlich vielen 

 Bogen einen und nur einen Teil abtrennen, der diesen Berei- 

 chen nicht angehört. Dann wird auch H^ iiber seine sämt- 

 lichen Grenzen hinaus in einen neuen Bereich H/ erweitert, 

 dessen Randpunkte alle unter die von Hy' (r) und H^^' (Z) 

 eingehen. Nach unserer Antithese gibt es innerhalb H^' 

 keinen Bogen von g dessen Anfangspunkt Hj^' (r), Endpunkt 

 Hj^' (Z) angehört. 



^) Gr oss II, Abt. IV, Nr 3. 



