14 Felix Iversen. (LXIV 



Nach den Definitionen der Häufungsbereiche gibt es nun 

 einen so grossen Kreis C in der r-Ebene, dass alle Werte die 

 /(z)in ]d und ausserhalb C annimmt, H^' angehören, während 

 die Werte von / (z) auf 2"^ und -2'; und ausserhalb C in //^' (r) 

 bezw. H^' (1) fallen. 



18, Da nach der Antithese Hj nicht die ganze Ebene um- 

 fasst, so enthält K^ höchstens einen Punkt m (vgl. Nr 13). 

 Wenn dieser auf dem Bogen b läge so deformieren wir leicht 

 diesen Bogen in der Nähe von w i). Ist nun w^ ein innerer 

 Punkt des Teils von b, der von H^' ([) nach H^' (r) ver- 

 läuft, so gehört er weder H^' (also auch nicht H^) noch Kj 

 an, und muss also nach Satz II Wj angehören. Folglich 

 entsprechen diesem Punkt unendlich viele Punkte Zj_, Za, ..., 

 z„, ... innerhalb J, die Wurzeln der Gleichung / (z) =- w^ sind. 

 Setzen wir die denselben entsprechenden Elemente der Um- 

 kehrfunktion z = cp (w) von w — f (z) von w^^ aus längs g nach 

 beiden Seiten fort (indem wir algebraische Singularitäten mit 

 »unendlich kleinen Bogen» in einem bestimmten Sinne, z. B. 

 von g nach aussen, umgehen), so beschreibt z = cp (w) eine 

 Folge von Kurven yj_, y^, ..., j/„, ... durch z^, Zg, ..., z^, ..., die 

 g entsprechen und deren keine innerhalb J ins Unendliche 

 gehen känn. Betrachten wir obigen Kreis C in der z-Ebene, 

 so känn, wie gross dieser auch sein mag, von einem hinrei- 

 chend grossen n (> n^) an, keine der Kurven y^ diesen Kreis 

 innerhalb J treffen, weil sonst unendlich viele Schnittpunkte 

 von C mit den /„ innerhalb J vorhanden wären, deren Häu- 

 f ungspunkt kein regulärer Punkt öder Pol von / (z) sein 

 könnte, was doch (vgl. Nr 1) jeder endUche Punkt von J ist. 

 Uberdies muss aber jede Kurve y„ (n > n) nach der 

 einen Seite iiber ^^, nach der anderen iiber JS"jaus J hinaus- 

 treten, weil g nach der Antithese und den obigen Aus- 

 fiihrungen auf der einen Seite von w^ durch Punkte von 



^) Nur wenn Hy (;) öder Hy {1} aus dem einzigen Punkte co besteht, 

 känn diese Deformierung nicht vorgenommen werden. Dann folgt aber der 

 zu beweisende Satz unmittelbar: Da auf g kein gemeinsamer Punkt von 

 Hyir) und Hy (Z) fällt, haben diese Bereiche uberhaupt keinen Punkt gemein- 

 sam, und folglich enthält Hj die volle Umgebung von w (vgl. Nr 14), der also 

 gemeinsamer Endpunkt beider im Satze genannten Bogen ist. 



