A X:o 4) Ziun Verhalten analytischer I"unktlonen, 15 



//v' (/•), aiii" der anderen durch Punkte von II ^ (/) aus II ^' 

 hinaustritt^). 



19. Nach dieseii Yorbereituiigeii betrachteu wir den end- 

 lichen Teilbereich dn von z/, der von zwei aufeinander folgen- 

 deu Kurven /„ und yn+i (^^^^^o) (niöglicherweise nach neuer 

 Numerierung) und den dazwischen liegenden Teilen o^ (r) 

 und CFn(/) von J^^ bezw. ^, begrenzt wird-). Infolge der Be- 

 ziehung iv — f (z) entspricht d^ ein zusammenhängender 

 Bereich dj^ der w-Ebene innerhalb H/, von einer einzigen 

 Randkurve begrenzt, die sich ziisammensetzt aus zwei Bogen 

 Sn(r) und s„(Z), die On{^) ^^^^^ <^n(0 entsprechen und deshalb 

 //v' (/•) bezw. 7/^' (Z) angehören, und aus zwei Bogen (/„ und 

 Qn+i ^^^^ 9' ^i^ Yn ^i^d Yn+i eutsprechen und beide den Punkt 

 w^ enthalten. Durchläuft der Punkt z den Rand von cV^ im 

 positiven Sinne, so wird /„ von v, nach ^j., y„_^i von ^j,nach 

 2^1 durchlaufen, weshalb der entsprechende Punkt w, stets 

 das Innere von d„ zur Linken, ^'n vonH^' (I) nach//j'(r),(7„4.i 

 aber von H^' (r) nach H^;' (/) durchläuft. Wir schliessen also 

 nach dem oben gesagten, dass ^„ und <7n+i "^om Punkte w in 

 verschiedenen Richtungen durchlaufen werden und dass d^ 

 somit zu verschiedenen Seiten von g fallen und, als zusam- 

 menhängend, die geschlossene Kurve g iiberschreiten muss. 

 Es muss demnach in å^ noch Kurven geben die gewissen 

 Bogen von g entsprechen. Unter diesen känn aber, nach der 



*) Läge nämlich auf g, z. B. nach der Seite von w^ die mit dem fest- 

 gelegten Umlaufssinn (also von w^ zuerst durch Hy{r)) ubereinslimmt, und 

 bevor g aus H/ hinaustritt, ein Punkt von Hj.'{l), so enthielte dasselbe 

 Stuck von g auch eineh Bogen, der von Hy'{r) nach H^{1) ginge und H^' 

 angehörte, was der Antithese widerspricht (vgl. Nr 17). 



'') Fur /i ^ Hg können in j keine Kurven yn mehr zusammenstossen, m. 

 a. W. auf g känn keine algebraische Singularität der entsprechenden Zweige 

 der Um.kehrfunktion z = qi (w) fallen. In der Tat, bezeichnet die Pfeilspitze 

 die der festgesetzten Richtung von g entsprechende Richtung von yn, erhält 

 man um den mehrfachen Punkt der /»i die in den Fi- i ^ 

 guren dargestellten Anordnungen der Richtungen. Nach ^\yr''^ i 



unserer Antithese musste aber, wie oben erwähnt, die i/\l 



mit r bezeichneten Zweige durch Zr, die mit Z bezeich- 



neten Zweige durch X; aus J hinaustreten, was notwendig einen weiteren 



Durchschnitt der benachbarten Zweige voraussetzt. Da dies aber wegen 



der monotonen Veränderung von w in der Richtung der Pfeile unmöglicli 



ist, so ist die Richtigkeit unserer Behauptung dargetan. 



