A N:o 4) Zum Verhalten analytischer Funktionen. 17 



aber der in Nr 17 hervorgehobenen Folgerung aus der Anti- 

 these. Diese ist also falsch, iind der Satz von G r o s s somit 

 bewiesen. 



20. Vorstehender Beweis griindete sich wesentlich auf 

 folgende Voraussetziing: 



(A): Es gibt einen Bogen g, der einen Punkt w^ von H^ 

 ausserhalb H^ enthält iind nach der einen Seite von w^ darch 

 Punkte von H^ (r), nach der anderen Seite durch Punkte von 

 //v (O aus Hj hinaustritt. 



Aus dem Gros s'schen Satze folgt dann zunächst, dass 

 der Bereich H^ mehrfach zusammenhängend ist, weil im ent- 

 gegengesetzten Falle g zu einer geschlossenen Kurve ergänzt 

 werden könnte, deren iibriger Teil ganz ausserhalb Hj fiele, 

 und also den in dem Gros s'schen Satze verlangten anderen 

 Bogen nicht enthielte. 



Ferner folgte aus der Annahme (A) die Existenz der 

 Kurven -/„, die den Bereich j in endliche Teilbereiche å^ zer- 

 legen. Daraus können wir nun folgern, dass unter der Voraus- 

 setzung {A) der Konvergenzbereich Kj leer ist^). Da nämlich 

 der einem Konvergenzwert o) entsprechende Konvergenzweg 

 r^, auf dem lim / (z) = co, alle Kurven y^ iiberschreiten musste, 



z=oo 



so miisste notwendigerweise der gegebene (und auch jeder 

 deformierte) Bogen g durch co gehen, was ja nicht stattfinden 

 känn. 



Aus Obigem ergibt sich: 



Wenn die Häufungsbereiche H-^ (Z) und H^ (r) zwei mehr- 

 fach zusammenhängende Bereiche ohne gemeinsame Punkte 

 sind, und wenn der Häufungsbereich Hj ein von H^{I) und 

 ein von H^{r) berandetes Kontinuum unbedeckt lässt, so ist 

 der Konvergenzbereich Kj leer. 



21. Es sei, unter der Voraussetzung (A), H/ das (grösste) 

 Teilkontinuum von H^ dem Wq angehört und das ganz ausser- 

 halb H^', des erweiterten Bereiches H^, fällt (vgl. Nr 18). 

 Bezeichnet C den in derselben Nr erwähnten, den Bereichen 



*) Wir hatten, um den Beweis des Gros s'schen Satzes zu vereinfachen, 

 durch eine Deformation von g den Fall beseitigt, dass auf dieser Kurve ein 

 Konvergenzwert w von f{z) in z/ läge (vgl. Nr 18, auch Fussnote S. 14). 



2 



