8 Rolf Nevanlinna. 
negativ ist. Er kann aber auch fär keinen dieser Werte ver- 
schwinden. Denn die Funktion x a log f(x), die sich in der 
Form 
(je x - log f(2) =1+ 92), 
schreiben lässt, wo g(x) fär |r|<1 regulär ist, mässte sich 
dann auf eine rein imaginäre Konstante reduzieren, was 
sicher nicht zutrifft, weil sie fär x=0 gleich Eins wird. 
Fär die Funtion (6) ergibt sich somit schliesslich fär [r]<1 
die Bedingung | 
(13 Ra log te) =1+ R(ty(2)) >0. 
5. Wir wollen zeigen, dass die gefundene Bedingung 
(13) auch hinreichend ist, d. h. dass wenn oq(x) eine fär 
|[z|<1 reguläre Funktion ist, welche der Ungleichung (13) 
genögt, die durch (12) bestimmte Funktion f(x) den Ein- 
heitskreis auf ein Sterngebiet konform abbildet. 
Durch Integration erhält man fär f(x) die Darstellung 
Sr 
plx)dx 
(14) 5 f(x) = 
Diese Formel zeigt zunächst, dass f(x) im FEinheitskreise 
regulär ist und för x=0 verschwindet. Ferner sehen wir, 
dass der Zuwachs von arg f(x) bei einem positiven Umlauf 
von x längs jedes Kreises |x|=r(r<1) gleich 2z ist. Nach 
(13) wächst hierbei das Argument der Funktion monoton, 
Wworaus wir schliessen, dass die Bildkurve C, von [FER 
ein Sterngebiet begrenzt, und weiter dass f(x) das Innere 
des genannten Kreises auf das Sterngebiet konform abbil- 
det. Weil dies fär jedes r<1 zutrifft, so folgt dass das 
ganze Bildgebiet S des Einheitskreises ein Sterngebiet ist 
und dass die Abbildung in jedem inneren Punkte konform 
IST, WD EW 
