AS A N:o 6) Uber die konforme Abbildung von Sterngebieten. 9 
Wir fassen unser Ergebnis in folgendem Satz zusammen: 
Satz I: Notwendig und hinreichend, damit die Funktion 
f(x) = AX + Aa? + Aa rr (a, +0) 
den Einheitskreis auf ein Sterngebiet konform abbildet, ist dass 
die Funktion 
XT ES log f(x) 
för FaR! requlär und ihr reeller Teil positiv ist). 
6. Betrachten wir einen Augenblick eine beliebige, in 
einer gewissen Umgebung des Nullpunkts konvergierende 
Potenzreihe 
(15) f(X) = Ax + dk? Hr: FAR ss? (a =E 0): 
Die Funktion w(z) => 7 108 f(x) ist fär z=0 regulär. Weil 
nun w(0)=1 ist, so LE wir dass in der Umgebung 
von z=0 die Bedingung R(w(xz))>0 bestehen muss. Hier- 
aus ergibt sich, dass zu jeder Potenzreihe (14) eine der- 
artige positive Schranke R gehört, dass die Funktion jeden 
Kreis |x|<r(r ER) auf ein Sterngebiet konform abbildet, 
während dies för r>R nicht mehr gilt. Die so definierte 
Zahl R wird im folgenden die Sternschranke der Funktion 
genannt. 
II. Kriterien fär die Koeffizienten der abbildenden Potenzreihe. 
7. Wenn die Koeffizienten der Taylor'schen Entwick- 
lung der Funktion (6) gegeben sind, so sind auch die Koeffi- 
zienten der Entwicklung 
!) In seiner Arbeit: Functions which map the interior of the unit cercle 
upon simple regions (Ann. of mat. 2 ser. vol. 17 (1915), S. 12—22) gibt Herr 
Alexander folgendes Kriterium: Wenn f(x) den Kreis |r|£1 auf ein 
Sterngebiet konform abbildet, so kann sie in der Form xq'(x) geschrieben 
werden, wo Q(x) den Einheitskreis auf ein konvexes Gebiet abbildet, und 
umgekehrt. — Vgl. auch eine Bemerkung des Herrn Bieberbach hier- 
uber in seiner Arbeit: Aufstellung und Beweis eines Drehungssatzes fär 
schlichte und konforme Abbildungen (Math. Zeitschrift, 4, 1919, S. 295—305). 
