12 . Rolf Nevanlinna. (LXUT. 
bestimmt !). . Die Integration ergibt 
(22) f(x) = ER =2— ev + 323 tons 
; +(—-1y ngn bss Ö 
Diese Funktion, die bekanntlich auch bei Extremaleigen- 
schaften allgemeiner schlichten Abbildungen auftritt, bil- 
det för «=1 den FEinheitskreis auf die von dem Segment 
å —  — 0 der reellen Achse begrenzte Vollebene konform ab. 
Man sieht, dass bei dieser Funktion se Schranken (21) in” 
der Tat erreicht werden. 
Herr Bie berbach hat die Vermutung ausgesprochen, 
dass bei schlichten Abbildungen allgemein CR |En sel, WO 
die obere Grenze von der Funktion (22) erreicht wird. Die 
Richtigkeit dieser Vermutung im Falle eines Sterngebietes 
ergibt sich leicht aus der Formel (14), wo jetzt C = a, =1, 
unter Anwendung eines Carathéodory'schen Satzes?). Setzt 
man nämlich in (14) för g(x) ihre Taylor'sche Entwicklung 
lr) =Dd, + bax + rr + brer 
ein, so folgt unmittelbar, dass a, ein Polynom P, (bi, 
ba, >>> by4) VOD dj, ba, «>>>, by4 ist, dessen Koeffizienten 
sämtlich positiv sind. Es ist also 
(23) Jan) SPa(ldr]> [Bal 2 föral) 
Der obengenannte Carathéodory'sche Satz zeigt nun, auf die 
Funktion 5 (1 + ry(x)) angewandt, dass |b, | 2 (v =1,2, +--) 
ist. Ersetzt man auf der rechten Seite von (23) die Argu- 
mente |b, | durch die obere Schranke 2, so gilt die FORSS 
chung a fortiori, und es ist also 
1) Vgl. S. 50 unserer oben zitierten Abhandlung. 
2) Vgl. C. Carathéodory: Rend. di Palermo 32 (1911). S. 193—217. 
1 : å 
Der Satz lautet: Wenn die Funktion NET tax tH+axr + im Ein- 
heitskreise regulär und ihr reeller Teil positiv ist, so ist |an | < 1(n =1, 2, ---). 
