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A N:o 6) Uber die konforme Abbildung von Sterngebieten. 17 
Ein von Herrn Löwner?) bewiesener Satz zeigt, dass 
die in (30) erhaltene untere Schranke von |f(x)| auch bei 
allgemeinen schlichten Abbildungen dieselbe bleibt. Herr 
Gronwall hat bei ebensolchen Abbildungen eine untere 
Grenze fär |f(z)| und sowohl untere als obere Grenzen fär 
If'(0) | angegeben (vgl. Fussnote 2 S. 2). Seine Resultate 
stimmen hinsichtlich der unteren Grenzen mit unseren For- 
meln (30) äberein. Die von ihm behauptete obere Grenze 
för |/(2)|, die von einer schlicht abbildenden Funktion 
wirklich erreicht wird, ist aber grösser als die entsprechende 
in (30). 
IV. Abschätzung der Sternsehranke bei sehlicht abbildenden 
Funktionen. 
11. Als Anwendung unseres Satzes I, wollen wir einé 
untere Grenze fär die Sternschranke einer Funktion 
(32) fa) =X + as? + ->es 
suchen, welche den Einheitskreis schlicht abbildet. Hierzu 
haben wir eine Abschätzung der Funktion 
1 Löwner: Extremumsätze bei der konformen Abbildung des Äusseren 
des Einheitskreises (Math. Zeitschrift Bd. 3 (1919) S. 65—77). — Der Satz 
lautet: Wenn f(x) = 23 er + --- den Einheitskreis schlicht abbildet, so 
gilt fär |x|=r<1 die Ungleichung |q(x)|< = +T. 
Gibt nun f(r)=x—+ ax + --: die konforme Abbildung des Kreises 
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|r|E1 auf ein schlichtes Gebiet, so genögt die Funktion fe a, den Be- 
dingungen des Löwner'schen Satzes. Es ist also l 
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was wir eben behaupteten. 
