4 Nils Zeilon, 



nous aurons une surface algébrique dans l'espace à trois dimensions 

 des (.r , î/ , z) . C'est cette projection de la caractéristique dans l'espace 

 ordinaire que nous étudierons par la suite et à laquelle pour plus de 

 brièveté nous donnerons souvent le nom de caractéristique. 



2. Soit, pour n fixe: 



r(x , ?/ , z , ?<) = 



la projection ainsi définie; les équations 1) et 2) expriment ce fait bien 

 connu que F est l'enveloppe de l'ensemble de plans 



3) ax-h ßij + z + au = 



dont les paramètres satisfont à la relation 



. f{a , ß, 1, ô') = 0. 



Par l'élimination de a on arrive à l'équation 



^ ßy-hz + (^7i 



d'une courbe algébrique entre ß et â dans laquelle a; , y , z , u entrent 

 en qualité de paramètres. Les conditions pour que [x , î/ , s , n) se 

 trouve sur F s'expriment par les relations 



Ainsi la caractéristique se définit comme le lieu géométrique des x, y, 

 0, u pour lesquels la courbe algébrique /''"' (ou ses équivalents /"W, /"''^)) 

 possède des points doubles. 



La nouvelle définition est la conséquence immédiate de la récipro- 

 cité des surfaces f et /', Coupons l'espace (« , ß , â) où l'on a dessiné 

 la surface /'(«, yS, 1, â) = f[a, ^, â)=0 par un plan arbitraire 3), .t, ?/, 

 z, u étant des paramètres. L'équation Z'"' nous donne alors la section 

 dans le plan par la surface f. En vertu de la correspondance par 



