Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 5 



dualité ce plan est tangent à f chaque fois que (a; , y , s , u) se trouve 

 sur F, et la définition ci-dessus n'exprime que ce fait que la section 

 par un plan tangent est une courbe algébrique possédant le point de 

 contact comme point double. 



3. Voici une première indication d'une correspondance impor- 

 tante que nous aurons à approfondir plus loin. Le point double est 

 un 'point isolé ou non selon le signe du déterminant Hessien 



c. à.- d. selon que la surface 



est convexe ou aux courbures opposées dans le point (a , /5 , â) con- 

 sidéré. Or, on sait que les deux domaines: le voisinage de (a, ß, (T) 

 et le voisinage réciproque de (.c , y , s , u) sur /", qui se correspondent 

 par dualité, sont ou tous les deux convexes ou tous les deux à courbures 

 opposées. Donc: la nature de F au point {x , y, z) décide de la nature 

 du point double de la courbe /"'"'. 



Dans la suite, sauf un cas d'exception dont nous ferons bientôt 

 mention, nous faisons pour la théorie générale l'hypothèse restrictive que 

 la surface f(a, /S, â) soit dépourvue de singularités ponctuelles. Cela revient 

 donc au même que la surface F manque de singularités tangentielles (plans 

 tangents doubles etc.); son ordre, ou la classe de /", est alors égal à 

 n{n — 1)\ et elle possède un certain nombre de lignes doubles etc. corres- 

 pondant aux singularités tangentielles de f. Parmi ces singularités 

 tangentielles il importe de noter la courbe parabolique qui divise f en 

 domaines alternativement convexes et aux courbures opposées, corres- 

 pondant, comme nous venons de le remarquer, à des domaines de 

 r de la même nature. Dans l'hypothèse admise ci-dessus, une sur- 

 face F arbitraire ne possède pas de courbe parabolique, mais les dits 

 domaines sont séparés par des courbes qui constituent autant de 

 branches d'une arête de rebroussement. En effet, F possède une arête de 

 rebroussement laquelle correspond à la surface développable envelop- 

 pée par les plans tangents à la courbe parabolique de f . Sur cette 

 dernière surface, le passage d'un domaine convexe à un domaine de 



