Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 7 



l'un des cas suivants. 1) La surface f possède une ligne double, 2) 

 f possède un point double par lequel passe le plan å considéré, 8) Le 

 plan ()' est tangent à /. Nous venons d'écarter les deux premiers cas, 

 tandis que le troisième sera facilement inclus dans la discussion sui- 

 vante en qualité de cas limite. Le cône V^ sera donc, en général, 

 donné par une équation homogène en x , ij , z': 



5) Faix, y, z') = 



d'ordre n{n — 1); la section Cs de ce cône par un plan quelconque 

 qui ne passe pas par le sommet 



x = y = z'=-0 , 



sera une courbe dépourvue de singularités tangentielles, c. à, d. qui 

 n'a pas de tangente double ni d'inflexion. Nous connaissons d'ailleurs 

 dans ses traits principaux la conformation des Cy, pour cela rappelons 

 pour un moment l'importance algébrique du cône caractéristique d'une 

 équation à 3 variables. 



5. Dans l'équation 5) Fs {x , y, z') n'est autre chose que le 

 discriminant irréductible du système algébrique aux deux inconnues a , ß: 



f{a , ^ , cî) =. , 



6) 



ax + ßy-^z' = , 



ù ayant toujours sa valeur paramétrique fixe. Au point de vue algé- 

 brique Fs est donc le lieu des x, y, z' pour lesquels deux paires de 

 racines (a, ß) se confondent. On sait que les deux racines («^ , ßfc) ^ 

 {'",,•> /^i' ^1^'' deviennent égales au passage d'une hranclie Fg,^,, de />, 

 sont réelles sur le côté convexe et deviennent complexes et conjuguées 

 sur le côté concave de l'Sifa' ■ Deux branches Gs.fiv et Gs,^x qui per- 

 mutent la même branche («^, ßu) avec deux autres, (r/^, /?,) soit 

 {(^xi ßx) -^ ^^ rencontrent en un point de rebroussement autour duquel 

 on aura en général une permutation cyclique entre les trois racines. 

 Définissons les branches de Cs qui permutent une même branche a/, 

 en fixant cette branche par exemple au moyen d'un prolongement 

 analytique exécuté à partir d'un point Q où «^ est complexe, et étendu 



