Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 9 



Pour définir les cônes J\ qui passent par {x' , y', z'} il suffit de faire, 

 dans la section plane, la construction des tangentes menées par {x'y'z'). 

 Si ces tangentes découpent sur l'axe des z les ordonnées ^, , s., etc., 

 les valeurs tV correspondantes résultent immédiatement de la relation 

 7), savoir 



8) ' à\ = — —, d'-i = — —, etc. 



Parmi ces ^•aleurs ()' on en trou^'e deux qui se confondent quand 

 {x\ y\ 2'), en se tenant dans le plan choisi, vient coïncider avec (PI. 1) 

 {x , y, z) . La fig. 1 (PI. I) accuse la différence entre les côtés convexe 

 et concave de la section de /'; l'un sera le domaine de deux tangentes 

 réelles donnant des â^ , ()\ voisins et réels, iandis que sur l'autre les 

 deux tangentes sont devenues imaginaires en même temps que ô\ , ô\ 

 sont devenus complexes (et conjugués). 



Par ce raisonnement nous arrivons à une définition modifiée de 

 /', savoir comme le lieu des points {x , ij , z) pour lesquels deux points 

 de branchement â se confondent. 



Ce qu'on a voulu dire par »point de branchement» résulte nette- 

 ment de ce qui précède. Au lieu de faire varier [x'. y', z') et tenir 

 â fixe, tenons ce point fixe et faisons varier ô' . Les racines {a , ß) 

 des équations 7) deviennent alors des fonctions algébriques de <î , dont 

 deux branches coïncident quand on se trouve sur un cône F^ . Cela, 

 pour X = x', etc., arrive quand 



de manière que ces deux valeurs nous donneront des points de bran- 

 chement des deux fonctions algébriques « , /3 . On retrouve la défini- 

 tion de /" comme le lieu des points doubles d'une courbe algébiique, 

 mais la nature des points doubles est maintenant, pour ainsi dire, pré- 

 cisée de manière qu'on se les figure comme le résultat de la fusion de 

 deux points de branchement. 



7. Prenons (oujours la fig. 1, où la droite OC représente la 

 génératrice rectiligne d'un cône F^ . Faisons tourner le plan secteur 

 autour de l'axe des z; on aura des figures successives du type 1, et 

 OC engendrera une branche Fg^f,,,, dès que, comme nous le suppo- 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. .".. N:o 3. Impr. 'V12 l'J19. 2 



