Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 1 1 



dans le cas cVun domaine convexe les fonctions algébriques «^ , ßf, , 

 en général complexes dans le domaine de valeurs réelles ö considéré, de- 

 viennent par le passage de r , réelles pour tout ô' à Vintérieur de Vinter- 

 vcdle ()\ < d < ()'., , tandis que dans le cas des courbures opposées ces 

 mêmes fonctions, en génércd réelles, deviennent complexes pour ()\ < <)' < à., . 



8. La construction du n" 6 nous servira à étendre au cas de 

 4 dimensions une notion qui nous a été utile dans la théorie des équa- 

 tions à trois variables. 



Soit, à l'extérieur de r, (.r , ?/ , z) un point au voisinage d'un 

 cône -fj dont le sommet définit la valeur â correspondante, et parmi 

 le nombre des cônes passant par {x , // , z) distinguons Fg^ et A,- . 

 Quand [x , y , z) s'approche d'un point de r^ . l'un de ces deux cônes 

 coïncidera avec ^^ , c. à. d. ô\ , soit ô\ , de^iendra égal à cf. Nous di- 

 sons, selon le cas, que la racine d\ ou d\ est adjointe à r^ en ce point, 



La construction géométrique montre ^ que Ai et Fg^ ont des 

 sommets qui sont situés: 



du même côté de â quand {x , y , z) se trouve entre r et r-^ 



de Ihm et de l'autre côté, quand (x- , y , z] se trouve à l'extérieur 

 et de r et de -T'j . 



Supposons que nous restions dans ce dernier domaine. L'ob- 

 servation ci-dessus sert alors à séparer les branches ()\ et ô\> ; stipu- 

 lons p. ex. que ô\ soit inférieur à â . Cette stipulation faite, les deux 

 branches sont définies par prolongement analytique, sans aucune am- 

 biguïté, dès qu'on s'abstient de toucher à r. Or, faisons tendre 

 {x , y , z) vers J^j ; le résultat sera différent selon qu'on s'approche 

 de l'un ou de l'autre côté de la courbe de contact Cg de r-^ avec r. 

 En effet, en s'approchant dans la fig. 1 de la partie de r^ au-dessus 

 de Cj , c'est évidemment le cône dont le sommet est au-dessus de z 

 qui y coïncide avec r^ tandis que les circonstances sont renversées 

 au-dessous de Cg . Il y a donc, sur la courbe Cg , entre les deux 

 branches ô\ et ô\, ^ un échange du rôle déracine adjointe; Dans la fig. 1, Ja 

 est la racine adjointe à F^ au-dessus de Cj, et â^ remplit la même fonc- 

 tion au-dessous de cette courbe; c'est le résultat d'une permutation 

 entre les deux branches, effectuée sur Cg en vertu du contact avec -f. 



' Le cas singulier d'une tangente d'inflexion étant toujours écarté. 



