Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 13 



subsistent donc sans modifieation à condition, bien entendu, que l'on 

 veille à ce que la détinition de la racine adjointe se faase expressé- 

 ment pour une branche déterminée r-^ de r^ . 



Le cas de la tangente double, peu intéressant en lui-même, 

 nous donnera cependant l'occasion d'introduire un cas singulier, im- 

 portant par l'intérêt des applications qui s'y rattachent, et qu'il sera 

 convenable de traiter dès maintenant. 



En prenant, dans le cas ordinaire, une section voisine de celle 

 dessinée dans la fig. 2, la tangente double voisine de OC ne passe plus 

 par 'z . Supposons maintenant que cela ari'ive au contraire pour toute 

 section voisine; l'ensemble des tangentes doubles passant par ()' engen- 

 drent une partie de cône correspondant à deux branches A, /,v qui 

 sont venues se confondre totalement. On a alors- un cas singulier, et 

 les circonstances algébi'iques se sont modifiées. 



Laissant de coté le cas où la surface /' possède des lignes doubles, 

 passons de suite au cas qui réalise les conditions formulées ci-dessus; 

 c'est celui où / possède des points (coniques) doubles. Dans la surface 

 réciproque correspondra à ce point un plan tangent double qui touche r 

 le long d'une courbe plane, laquelle par dualité correspond au cône tan- 

 gent à /■ mené par le point conique. C'est donc une courbe de se- 

 cond ordre, ce cône tangent étant de cet ordre, et par sa correspon- 

 dance à une surface développable c'est nécessairement une courbe 

 parabolique. 



Soit z le point où le plan tangent double coupe l'axe des s ; 

 tout vecteur, issu de ^, qui coupe la courbe de contact C de second 

 ordre, sera une tangente double de r ; on se trouvera donc dans le 

 cas décrit ci-dessus où l'on aura tout un intervalle de sections planes 

 de la forme 2. 



Le cas classique est représenté par la fig. 3 (PI. I). C, et G^ 

 sont les deux sections du plan secteur OC^C^ par la courbe C, la- 

 quelle dans un cas spécial célèbre est un cercle. Pour avoir une idée 

 de l'arrangement on s'imagine que la fig. 3 représente une surface 

 de revolution autour d'un axe mené par le point conique Q (lequel 

 d'ailleurs est l'image par réciprocité d'une courbe parabolique de /' à 

 propriétés analogues à la courbe G . Vu de l'extérieur le domaine 

 entre Q et C montre l'aspect d'un trou circulaire au centre Q aux 



