14 Nils Zeilon, 



parois à courbures opposées et dont la courbe parabolique forme la 

 lèvre supérieure circulaire, le tout couvert par la plaque plane du plan 

 double. Au delà du trou la surface est pai-tout convexe. 



Cela posé, la fig. 3 servira à étudier les racines adjointes au 

 plan double. Au voisinage de C. , p. ex., on aura 'S racines <)' qui se 

 confondent en ô' , et par conséquent il y aura 3 branches ()' entre 

 lesquelles il faut partager le rôle de racine adjointe. Fixons ces bran- 

 ches i)\ , cV., , ()\ au point Â^ , voisin de C2, choisi arbitrairement à «l'ex- 

 térieur» du plan P, de manière que ô\ , J.^ représentent les deux ra- 

 cines qui se confondent sur 1\ au voisinage de C^ . On reconnaît que 

 le rôle de racine adjointe s'échange toujours d'après le même prin- 

 cipe entre d\ et ô\ , le passage à travers C, permutant ces deux raci- 

 nes entre elles. On aura en outre la branche ô\^ , adjointe au plan 

 double, et cela aux deux cotés de V.^ . 



Il y aura de même trois branches à discuter autour de C, . 

 Quant à la manière dont ces branches résultent par prolongement ana- 

 lytique des racines existant au point A-, , on rencontre là une question 

 quelque peu délicate qu'il nous faudra renvoyer à un moment ultérieur 

 après quelques préliminaires indispensables. 



10. Circonstances particulières au voisinage d'un domaine de r à 

 courbures opposées. La cas singulier du n° précédent montre que la 

 définition de I" comme lieu des points d^ confondus n'est plus absolu- 

 ment juste, puisqu'elle inclut aussi le plan singulier. Nous allons pour- 

 tant voir plus tard que le plan double conserve l'analogie avec r 

 aussi sous des rapports moins artificiels, ce qui pourrait servir à mo- 

 tiver la définition. Seulement elle reste en défaut par d'autres raisons 

 encore; c'est ce que la discussion des tangentes principales, laissée 

 jusqu'ici de côté, nous fera voir. 



Soit en effet la section plane de r par un plan passant par 

 l'axe des z , et supposons que cette section contienne une tangente 

 d'inflexion. La section découpe alors nécessairement un domaine de r 

 à courbures opposées; on va reconnaître qu une coïncidence entre deux 

 racines d peut alors avoir lieu sans Fintervention de r. En effet, dans 

 ladite section, le passage de {x , y , z) à travers la tangente d'inflexion, 

 exécuté sans toucher à r, confond, eu les faisant changer de réalité, 

 deux tangentes â, qui, tant qu'elles sont réelles, touchent r aux 

 deux côtés du point d'inflexion. Ce dernier, point de contact entre 



