Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 15 



r et une tangente d'inflexion, correspond évidemment à trois racines 

 confondues. 



Considérons maintenant des sections voisines successives et 

 traçons partout les tangentes d'inflexion. L'ensemble des tangentes 

 engendrera une surface réglée h tangente k T \e long de la courbe 

 is des points d'inflexion. Le côté réel de r (par rapport aux racines 

 ô) étant toujours celui que tourne r vers le cône tangent, on reconnaît 

 que par le passage à travers in les côtés réel et complexe s'échangent 

 entre eux. 



La surface Is est encore un lieu géométrique qui fait confondre 

 deux valeurs å\ Appelons «l'intérieur de Is» le domaine contenu entre 

 Is et I' ; la fig. 4 montre immédiatement qu'à un point de ce domaine 

 correspondent trois racines qui se confondent et deviennent imaginaires 

 par le passage à travers Tune des génératrices de h . On poursuit 

 facilement la connexion des branches en faisant un circuit autour du 

 point d'inflexion. 



Partons de (^i (fig. 4) avec les trois branches â^ , d\. , ô".^ qui 

 coïncident toutes les trois dans le point d'inflexion C^ et dont <)\, , Jg 

 correspondent à des tangentes touchant I" au voisinage de G^ . En 

 franchissant Is en Q\ ô\^ et ô\ se confondent de manière qu'en Q" au 

 delà de Is fl n'existe qu'une seule branche réelle qui s'appelle toujours 

 <?! . Franchissons r-, on retrouvera de nouveau en Q^ les deux branches 

 (Ts , <^i\ soit p. ex. J., celle qui est la plus voisine de la valeur commune 

 en C; . Franchissons Is en Q'"; ce sont maintenant les branches d\ 

 et rVjj qui deviennent complexes, et la seule branche réelle qui nous 

 reste en Q"" s'appelle â^ . Franchissons r en retrouvant J, et ()\ , et 

 en choisissant, comme il nous sera permis, d^ pour celle dont la tangente 

 touche près de C, . Par les quatre passages on fait donc confondre 

 successivement 



[ôA), ((^A), (SA), (c^Aj, 



et Von reviendra en Q sans permutation entre les racines, après avoir fait 

 le circuit complet autour de C, . 



La surface 7^ ressemble donc à r par une propriété importante; 

 elle en diffère, d'abord en ce qu'elle est tout particulièrement liée au 

 choix de l'axe des z comme directrice et puis par la manière dont les 

 deux valeurs S s'y approchent de leur valeur commune. En effet, nos 



