Equations aux deeivees partielles a quatee dimensions etc. 17 



12. Revenant aux circonstances qui correspondent au point 

 double (n" 9), nous sommes maintenant en état d'expliquer la con- 

 nexion des racines se permutant sur le plan double. La fig. 6 nous 

 donne une section voisine du plan central par le point double; c'est 

 une courbe à deux inflexions et à une tangente double, trace du plan 

 P singulier. On reconnaît qu'au voisinage de C^ on a quatre branches 

 réelles ô\ . . . d\ , dont les trois premières coïncident en 0-2 . Le pas- 

 sage de Q.2 en Ç, voisin de C, ne peut évidemment se faire sans 

 franchir les deux tangentes d'inflexion tracées par la surface Is . 



Si d'abord Q.^ s'approche de P, sans franchir Is (c. à. d. s'ap- 

 proche d'un point à droite de Os), on voit que d\ et ôg coïncident. 

 Franchissons Id pour suivre le chemin pointillé jusqu'en Q': an et cV^ se 

 confondent sur Is , et il ne nous restera en Q' que les prolongements 

 analytiques de d\ et ô\ , restés distincts pendant tout le passage. Si 

 Q' s'approche de P, ce seront toujours ^, et «^^ qui y deviendront 

 égaux et l'on arrivera en Q" avec deux branches réelles qui s'appellent 

 toujours (î'i et S.. Allons de Q' en Ç,: on retrouvera par le passage 

 de l'autre branche de Ig les deux branches ^^ , ^4 devenues de nou- 

 veau réelles. D'autre part, on pourra franchir P en allant p. ex. en (/"; 

 on a alors permuté et rendu complexes ^i et ^^ et l'on arrivera en Q'" 

 avec ^3 et ^^ , qui évidemment coïncident si l'on s'approche de P 

 au dessous de C,i .' En suivant cet argument on arrive au résultat 

 de la fig. 6, où, sur les différentes parties de -T, I3 et P, on a 

 marqué les branches è qui se confondent. La connexion entre les 

 racines est ainsi complètement éclaireie: on voit qu'il est possible de 

 définir partout, sans ambiguïté, les racines réelles par prolongement 

 analytique des racines au point de départ Q. . 



Nova Acta Keg. Soc. Sc. Ups.. Ser. 4, Vol. 5. N. 3. Impr. "/is 1919. 



