Equations aux dérivées partielles a quatre DiMENsioNs'etc. 25 



, ß'y + Z+0'u „ 

 A = Af/Î' , à') = A(- '^—^ , ß' , å') etc., 



Quelque fois la clarté exigera que la notation indique le procédé d'élimi- 

 nation employé; nous écrirons alors /"("), A*«) etc. au lieu de / , A, 

 respectivement. 



4. L'intérêt de l'équation A) se rattache aux conditions dans 

 lesquelles elle possède une racine double. En développant au voisinage 

 de )S' = on aura: 



A') o = A(^', o = /{o, ^') + r^i!^)A(^'iw^.^ 



savoir: 



A") (|i-)./'--(|i±V(|;):-2Ao,a.,(,^,), 



Le discriminant: 



B') ^^ = %l-''-n^^^')[wl 



mis égal à zéro formule donc la condition de deux branches («^, ß^\ 

 («r, ßi) confondues en (.i- , y ^ z, u) pour la valeur ô + ô' de ô. En 

 langage géométrique, B') nous donne l'équation du cône rj_^ ^. voisin du 

 cône rg qui passe par {x , y , s , v). 



Développons B') par rapport à ô' ■ 11 vient: 



B") Jß- = R + 2ô'Q+ ô"P=0 



avec 



^f ^ \dßda ) dß' do' ' 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N-.o 3. Impr. "/u 1919. 4 



