Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 27 



se trouve au voisinage, soit de J^^. , soit de r. Dans les deux cas on 

 aura des fonctions algébriques a , ^ complètement déterminées par la 

 position de {x, ?/, s, u) et par la valeur ô. Il suffira, en première 

 approximation, de mettre 



x' = y' = z' = ^ 

 dans toute dérivée de deuxième ordre de fi"). Ainsi en particulier 



P==^-H[x, y , u), 

 x^ 



où H n'est autre que la fonction Hessienne du n" 1 modifiée par la 

 substitution de 7c , y , u pour ^ , /, , A respectivement et donnée en 

 forme explicite par l'expression 



E) H{7c, y/, ü)-x%:-Uu)-^yVn--fnU) + Wi^"-fnh^) + 



+ ^Tiyifnf^i — fufn) + 2xw(/i,.,/",4 — AiAO + 2yx{fufi2 — /uAO- 



5. Appliquons les formules ci-dessus à la déduction de l'équa- 

 tion approximative de P. Pour un point voisin de F les expressions 



A - If. = =.{^x' - y'u), U - 7A = \ [n^' - M'A) 



deviennent de petites quantités de premier ordre; l'équation B') nous 

 donne donc deux racines à' voisines de zéro correspondant aux deux 

 cônes -^j + ^ passant par le point {x ?/ , 2 , «)• ^^" annulant le discri- 

 minant de B') : 



