Equations aux dérivées paetielles a quatre dimensions etc. 29 



Nous avons alors une racine (5 = d ; c. à. d. nous nous trouvons sur le cône 

 rj , et C) nous donne son équation approximative, valable à condition 

 que les {x , y , z) considérés ne s'éloignent pas trop du plan P- j^ j _ 

 Regardons donc la distance Z de ce plan tangent comme une quantité 

 de deuxième ordre; C) nous donnera alors l'équation d'un cône pai'a- 

 bolique représentant Fj pour toute génératrice voisine de celle tracée 

 dans P- ^ j. 



Dans un point arbitraire, voisin de P- ^ j mais non de -f, 

 l'expression 



xfi — uf^ 



n'est plus infiniment petit. Par conséquent le coefficient Q a une 

 valeur finie, et B' ne peut servir que pour déterminer une seule ra- 

 cine ô' . Au voisinage de A on trouve ainsi 



équation determinant le déplacement du sommet d'un cône A en fonc- 

 tion du déplacement d'un point arbitraire par où passe le cône. 

 Les équations simultanées 



^=0, P = 



déterminent la courbe de contact entre A et -f . Les expressions ci- 

 dessus montrent qu'on a alors 



C") g = 0. 



C") nous donne donc l'équation d'une surface qui passe par la courbe 

 Gj. Or, reportons-nous à l'expression C) de Q; nous reconnaissons 

 immédiatement que Q ne disparaît pas du premier ordre pour Z = Q. 

 La surface Ç, en passant par Cj , coupe donc r par un angle fini- 

 Il s'ensuit qu'en marchant soit sur r soit sur -Tj à travers la courbe 

 Gg on doit nécessairement franchir la surface Q; c. à. d. le coefficient 

 Q de B') change de signe par le passage à travel's la courbe de contact. 



