Equations aux dérivées partielles a quatre üimensions ef c. 37 



La disparition de ^ indique la nécessité de pi'oeéder à dos fcnries 

 d'ordre supérieur, les points de la courbe 10) correspondant au moins à 

 trois racines ô' qui se confondent. On conclut, en se reportant aux 

 considérations géoniéti-iques du chapitre I que les équations 16) nous 

 donnent la courbe de contact 6 de P-^J avec -f. 



L'expression de ''J) fait reti'ouver le fait bien connu que {S est 

 une conique dessinée dans le plan double, laquelle divise ce plan en 

 deux domaines à propriétés différentes. Appelons le donurine intérieur 

 celui vers lequel & tourne son côté concave. Il iniporle d'insister siu- le 

 signe de la fonction ^p dans les deux domaines. 



Pour cela rappelons que 6 correspond par dualité au cône tan- 

 gent mené par le point double a , y3 , d . On doit donc retiouver son 

 équation en éliminant u\ ß\ ô' entre les équations: 



17) 



fia', ß', ô') = 0, 



X 



y 



da' W 9^ 



dont la dernière est équivalente k Z = . Or, ces équations établissent 

 une correspondance réciproque entre le cône f dans l'espace à ti-ois 

 dimensions («', ß', ô') et un autre cône dans l'espace des {x , y, u), 

 dont l'équation doit s'écrire 



I 



Les équations 17) sont équivalentes à la condition que le discriminant 

 J^ de 



ß'y + â'u 



18) 



A- 



X 



, ß', ô') = {ô'= 1) 



s'annule. Pour former ce discriminant il suffit de se reporter aux 

 formules du n° 4 en y introduisant 



^=0; /•,=/■, = /; = 0; (d'= 1). 



On trouve immédiatement Q =■■ R = et le discriminant se réduit 

 bien à ^ . 



