38 Nils Zeilon, 



Considérons maintenant un point de l'espace (x , «/ , u) distinct du 

 cône |) . Les racines ß' de 18) sont alors réelles ou complexes selon que 

 P^O. Or, au point de vue géométrique, nous savons que des valeurs 

 réelles ou complexes de ß' correspondent à des plans tangents menés 

 par le vecteur {x , y , n) au cône ''P , plans réels ou imaginaires selon 

 que {x , y , u) se trouve du côté convexe ou concave du cône. De 

 là cette conclusion: 



La fonction Hessienne ^ du plan double prend des valeurs, néga- 

 tives dans le domaine intérieur et positives dans le domaine extérieur. 



11. Pour décider de la l'éalité des racines de F) on formera 

 le discriminant 



qui se calcule facilement d'après le n" 4. Il suffit de noter ((ue le 

 second facteur est une expression homogène de deuxième ordre qui ne 

 contient ni z ni u. Dans l'espace u l'équation 



19) D' — r^î = 



représente donc deux plans passant par l'axe des s, lesquels, par une 

 analyse facile, coupent le plan double le long de deux tangentes 

 menées à la conique 6. Soit par ex. 6 une ellipse; les deux tangentes 

 découpent donc dans le plan double un certain angle contenant l'ellipse 

 6; au delà de cet angle les racines d' deviennent imaginaires'. 



L'artifice du n° 9 servira enfin à élucider la connexion des ra- 

 cines à travers le plan Z = . Par l'introduction de l'imaginaire « 

 on écrira au lieu de F) 



F^'O Jß^ = ^Z' + if A f. + 2QZ<5' + fô'\ 



^ On vérifie immédiatement cette conclusion par la construction géométrique. On 

 reconnaît d'ailleurs que les deux tangentes dessinées dans ^'^ g 'g par 19) et qui limitent la 

 partie plane de F^ sont des génératices singulières de ce cône résultant en effet chacune 

 de la fusion de deux arêtes de rebroussement. 



