Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 39 



§4- 



Développements au voisinage dune tangente d'inflexion et dune 



courbe parabolique. 



12. L'analyse que nous venons de faire, n'est au fond que 

 l'application de la théorie élémentaire des surfaces de deuxième ordre. 

 Nos resultats, suffisants pour les généi-alités, deviennent illusoires s'il 

 arrive que le coefficient de ô''^ dans l'équation B', savoir la Hessienne 

 ü, s'annule. II faudra alors procéder jusqu'aux termes de troisième 

 ordre. Nous avons déjà signalé deux cas importants qui exigent une 

 telle discussion plus complète. Il nous suffira d'illustrer le procédé en 

 choisissant des circonstances quelque peu particulières. 



Soit d'abord la surface des tangentes d'inflexion; une arête de 

 rebroussement de r^ passant par {x , y, 2} correspond à un point 

 d'inflexion de la courbe 



20) r- = /(0 , Ö') -f ß' {ß, + ^p w^Yfw^^- 



c. à. d. à la condition que poxu' x' = ?/' = ^' = , d' = on ait 



37(«) 



hß" 



= 



Ce coefficient est donc de premier ordre par rapport aux petites quan- 

 tités x\ etc. De plus on trouve en développant: 



/■(«)(o , 0') = - a|+ à'\.{:xf, - M/;) + 2'5""' • ^^' + • ■ 



21) =y.Z + ^ia'-^rô" 



a/'«) 1 



-py = -{X'U — ?/'/.) + o'AßS + . . 



