Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 41 



241 (i-+/;rj" + rÄ"7' + (^"' = 



avec 



V27/ ^lo^ \/27/ 2ro\ 



13. Retenons jusqu'à la 3"'"'' puissance de ô" et calculons le 

 discriminant de 24). On trouve une expression de la forme: 



où D est une fonction entière rationelle des j^, i] , qui s'annule pour 

 I --= 7/ = . Or ^ est toujours infiniment petit; il s'ensuit que 1) ne 

 s'annule que pour de très petites valeurs de rj , c. à. d. il faut que 

 I« , soit xfi — nfi soit ti'ès petit. On se trouve donc au voisinage de 

 A et par conséquent 



nous donne l'équation de la caractéristique. 



Pour une valeur finie de rj on trouve encore deux racines 

 égales quand 



25) f = , soit y.Z^-~. 



Or l'équation 22) représente dans le plan des Z, une courbe, laquelle 

 en première approximation s'obtient en faisant subir à la courbe 23) 

 une translation proportionelie à ô' dirigée la long de la droite 25); en 

 effet c'est une courbe pai'allèle à 23) ayant un point d'arrêt en 



y. 



L'équation 25) nous donne donc bien le lieu des arêtes de rebrousse- 

 ment; c'est en première approximation l'équation du plan tangent de la 

 surface Is . 



Pour les différentes valeurs de ô' l'équation 22) dessine dans le 

 plan des Z, a une famille de courbes dont les points d'arrêt décou- 

 pent sur la droite 25) des longueurs proportionelles aux valeurs ô' corres- 

 pondantes. Par un point arbitraire du plan passent deux courbes de 



Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N. 3- Impr. -V12 1919. 6 



