EqUATIONSAUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 45 



ces valeurs se con''ondeiif sur la caractéristique dont l'équation au 

 voisinage de la courbe parabolique s'écrit 



(ir — af — fY Or — rn^ 



^^^' ^ 8,uM(.r-^ + r) 8^Mr^ 



On écrira encore, au voisinage de r = u , 



32') ^--2^("-'-r 



équation donnant, dans le demi-plan négatif d'une section normale au 

 plan double, deux ares de parabole dont, par la remarque faite, l'un 

 seulement fournit la section cherchée de -f. 



La coefficient de S"^ en 28) nous donne la fonction Hessienne ^ 

 du plan double, fonction négative pour l'intérieur de l'ellipse S , 



X- + y- < xr . 



Calculons, par comparaison, la fonction 



„,^ _ . H{x, y. II) H{f\ , /, , /;) 

 P{x, y, n) = =^ = ^^, 



aux i^oints avoismants de r . L'expression de /^") nous donne 



P = 



/3Y(«)n' aV(«) ay^ _ 3,arr(a:' + y^) — ju' — x"- — y') 



\dßd<yi dß' d<y' 



X' 



où il faut introduire pour rV la valeur commune que prennent les ra- 

 cines 31) sur /' savoir 



33) ,y; = 



' l!x{oc'^y') 



Donc 



w^ — x^ — m' 

 p = ■ — 



^ 2x' 



