46 Nils Zeilon 



c. à. (1. 



_ 2 w — ^ — V 



Les fonctions ^J) et P sont donc an voisincuje de la courbe 6' de signes 

 contraires; le signe de P étant d'ailleurs fixé par la nature de /', néces- 

 sairement à courbure hyperbolique à l'intérieur et à courbure elliptique 

 à l'extérieur du cylindre circulaire. 

 On tire de 33) 



_ A _ ^'r _ U- — X^ — if 



'^ ~ü m" 2^uu{x^ + y-') ' 



d'où, d'après la formule U, du n° 1 



. _y-^ _ n' - x' — if 



^^~ ir ~ 2^hi\x' +7) 



Sur la courbe 6, x"* et H disparaissent simultanément, mais y.* s'annule 

 d'ordre supérieur de manière que ^ s'annule. 6 est donc bien une 

 courbe parabolique, comme on vérifie d'aillevu's immédiatement en par- 

 tant de l'équation 32') de I" . 



Par la formule 31) avec la valeur zéro pour ô'\ la séparation des 

 branches est achevée. On aura toujours ô^ = â^ sur r tandis que pour 

 Z = on aura 



â\ = , soit ô", = 



selon que u'^ — x'^ — if <^ • La racine â\ est donc adjointe au domaine 

 intérieur du plan double, et â\ remplit la môme fonction pour le 

 domaine extérieur. Tout cela s'accorde avec les conditions au point 

 Cj telles que nous les avons représentées dans la fig. 6. 



§ 5. 



Préliminaires sur les intégrales des fonctions algébriques appartenant 



à la surface /. 



16. On s'attendra, par analogie avec les équations à trois dimen- 

 sions, à ce que l'expression fondamentale F de l'introduction se ré- 

 duise à certaines intégrales abéliennes possédant, dans l'espace des 



