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Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 49 



Supposons que ce soit le chemin supérieur; nous trouvons, dans la 

 limite de f = 0, 



soit 



selon que [x , y ^ 2), voisin de [x , y , z), est intérieur ou extérieur à r. 

 Quant à la réalité de nos expressions le résultat diffère selon 



la nature du point x" , «/ , 2 . 



a) Soit (x , ij , z) un point à courbure elliptique de -T; la Hes- 



sienne H est alors négative et yjP a une valeur imaginaire pure. Il 



s'ensuit que 



le passage à travers un point du domaine convexe de la caractéristique 



fait sxd)ir à Vintégrale A un said brusque réel dont la grandeur s'exprime 



algébriquement: 



n 



b) Dans un point à courbure hyperbolique, VP sera au contraire 

 réel; on aura donc une infinité logarithmique réelle. Soit 



l'équation approximée de la caractéristique, et soit au voisinage de 



{x, y , 2} 



Z-r[x', ?/') = ^; 



on trouve que 



par le passage à travers xin point aux courbtires opposées de r 

 Vintégrale A devient infinie comme 



log § , pour 1=0 



ôiP 



è dénotant la distance de {x' , y' , z') à r. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 3. Impr. *Vi2 1919. 



