8 Nils Zeilon, 



on a pour 



fx>0 



obtenu un pôle à partie imaginaire positive, si 



9) xfl"^ — yfl"> < . 



Ici, quant à la branche particulière a„ choisie, la partie imaginaire 

 a toujours retenu le même signe en tout point ß réel et par consé- 

 quent aussi au pôle ßi , voisin de Taxe réel et à distance finie des 

 points de branchement ß„ . Mais, en vertu de 7), a^ et ß au pôle en 

 question possèdent des parties imaginaires de même signe ou de 

 signes contraires selon que x et y sont de signes inverses ou égaux. 

 Supposons que ce soit le premier cas qui ait lieu; il s'ensuit que /î, 

 n'annule l'expression 7) que pour celles des racines «„ qui donnent 

 une valeur négative à /i'"' . 



Ces conditions sont renversées pour les branches du type a^ , 

 dont les parties imaginaires, pour le même signe de //"* , sont con- 

 traires à celles de a„ . Si ß^ est une racine de 



, ßy + z + au 

 Ö') /"(-^ ,ß,o)-ü = 



à partie imaginaire positive, c. à. d. telle que 



Xf^) — yfl"^ > , 



on est assuré que, pour xy < , 



ax + /i^ + s + au = 



détermine une valeur a , à partie imaginaire positive, qui se retrouve 

 parmi les a^ correspondant à /|"' > . 



3. Cela posé, achevons l'intégration de l'expression 1) par rap- 

 port à a . Puur la première intégrale on aura à tenir compte (pour 

 x>0) des racines a^ à partie imaginaire positive, c. à. d. de celles 

 qui donnent une valeur négative à ff'^a^ , ß , <î) , et d'une manière 

 analogue on prendra pour la deuxième intégrale les a\. qui rendent 

 /"j positif. Il vient 



