Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 17 



le remplacement de a\ ß\ J" par — «' , — /5', — â' fait reconnaître 

 que K est la conjuguée de K . On en conclut que l'intégrale / fournit 

 la partie singulière désirée à condition qu'on y remplace K par la partie 

 réelle de 2K . 



Cela posé, soit d'abord {x , y , s) un point à courbure hyperbolique, 

 de manière que H soit positif et que par conséquent 



^1 = V^'i + yl — »î 



voisin de r^ , soit réel. L'application de la transformation (b) nous 

 donne 



_ 1 f e'"y''dadßda 



K. — 



— ce 



Modifions le chemin d'intégration des ö , en tenant compte des deux 

 pôles 



±\ 0^ + ß- — ~Tl + 2ia. 



En vertu des considérations du n" 8, chapitre II, ces deux pôles, pour 

 f > , sont situés, l'un dans le premier et l'autre dans le troisième 

 quadrant des ô complexes. Par déformation à travers les deux autres 

 quadrants on remplacera donc Taxe réel des <)' par l'axe imaginaire 

 parcouru de + ioo à — ioo , de manière que 



H- GO + X — i CO 



1 c f c e'"y''dadßda 



— CO — CO +ioo 



d'où, en écrivant — iâ au heu de â: 



+ C0 -foo + CO 



i C C C e'"^''dadßda 



~ûO —ce — CO 



Nova Acta Eeg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. Vs 1921. 



