Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 23 



cherchées. Par une disposition convenable des coefficients nous ré- 

 duisons les dites équations aux trois cas typiques que voici: 



a /3^ , a^ ô''^ a^ 

 ^"■^^^- -3.(3^2 + a? + ai^+a7e2)^ = ^ 



3 / 32 3- 32 3'-^ ^ 



2'^"^^^««- 3i(3~? + 3-^ + a?-a-^2)^ = ^ 



3/32 92 92 92. 

 ^'^"^^ ^^^- 35(3p + 3?"3?-3l?)^ = y'' 



et évidemment, pour ces trois équations, on sera ramené aux formules 

 du § précédent en y introduisant 



A = /2 = /4 = , 



et puis, selon le cas: 



1« cas. /il = /22 = /44 = 1 ; ^''i = i ; 



2'^'-« cas. /„ = /22 = 1 : /"44 = - 1 ; •'^'x = ^ ; 



3'™'' cas. f,, = /-22 = 1 ; /44 = - 1 ; >f^-i = 1 • 



Pour avoir les solutions fondamentales des diverses équations de 

 deuxième ordre les fonctions obtenues exigeront une dérivation par 

 rapport à z\ seulement elles présenteront en général des singularités 

 qui rendront cette opération impossible au voisinage de la caracté- 

 ristique. 



13. F'' cas. L'équation est à caractéristique imaginaire; 



r^ = ^x^ + 2/^ + ^2 



