Chapitre IV. 



Équations à caractéristique essentiellement réelle. 



§ •• 



Introduction d'un cas particulier important. 



1. Revenons aux equations llj et 12) du n" 4. Nous nous 

 occuperons dès maintenant d'une classe d'équations pour lesquelles Tm- 



tégrale double i^j'.',,-:î, rentrant dans l'expression de i^^. „„3 , disparaît. 



Supposons que pour des valeurs ß, tj quelconques réelles toutes les 

 racines a de 



1) /•(«, ß. cV) = 



soient réelles. Dans ce cas la fonction algébrique a définie par 1) ne 

 possède pas de points de ramification réels, et une branche réelle 

 quelconque reste distincte dans tout le domaine d'intégration. Nous 

 disons que la fonction f[a , ß , lï) et par conséquent la caractéristique 

 correspondante, est essentiellement réelle. 



Pour une valeur arbitraire de ô (exception faite des points 

 doubles de /') la fonction intégrée par rapport à ß dans la formule 10) 

 ne possède donc au voisinage de l'axe l'éel d'autres singularités que 

 les divers zéros, réels pour f = , de 



u^c + ßij -\r z + âa , a^x + ßy -{- 2 -{- au . 



En déformant le chemin d'intégration dans l'intérieur du demi-plan 

 supérieur, on dépassera d'abord certains de ces pôles donnant la 

 somme de résidus représentée par 11). Continuons la déformation 

 sans atteindre toutefois aucun des points de ramification, ni des pôles 

 complexes, tous à distance finie des ß réels; nous aurons obtenu un 

 chemin d'intégration C", se trouvant tout entier dans le demi-plan su- 



