30 Nils Zeilon. 



périeur, le long duquel la ionelion intégrée est partout finie. < >r. l'ima- 

 ginaire if- n'a d'autre mission que celle de fixer les branches au voi- 

 sinage des valeurs réelles, et il n'y a plus rien pour nous empêcher 

 de mettre ^ = dans l'intégrale le long de G'. Mais dans ce cas les 

 branches des types a^. et a^ deviennent identiques en fournissant l'en- 

 semble des branches, toutes réelles, de 1). 



Cela posé, reportons-nous à la manière dont les signes de 10) 

 ont été fixés, 11 s'ensuit qu'une branche arbitraire de 1), correspon- 

 dant sur l'axe réel à un signe déterminé de /"j , figurera dans 10) deux 

 fois, savoir sous la wAation de f/,, et sous celle de a^ avec le signe con- 

 traire. Le procédé décrit n'a évidemment occasionné aucune confusion 

 parmi les branches, ainsi les a,, et «^ , affectés du signe +, épuiseront 

 nécessairement l'ensemble des branches, restées distinctes, de 1). L'inté- 

 grale le long de G est donc nulle pour * = , et il ne nous restera que 

 la contribution 11) comme expression de F,,,^^ dans la limite. 



Le cas actuel entraîne donc une simplification considérable. Pour 

 une équation à caractéristique essentiellement réelle les dérivées d'ordre n — 3 

 de l'intégrale fondamentale s'expriment au moyen d'une intégrale abélienne 

 simple de première espèce. 



2. Modification du procédé de limite. Dans l'équation 10) les 

 résidus correspondant aux diverses branches réelles a sont provenus 

 de deux expressions analytiques différentes. Le calcul indique cepen- 

 dant la possibilité d'atteindre le but par une seule expression; c'est 

 ce qu'on effectuera en faisant changer de signe l'imaginaire it avec 

 la dérivée f^{a , ß . ô) ■ Dans la suite nous supposons que ce soient 

 les racines ô^ de 



A«, />\ ô} = o 



qui pour des valeurs u, ß arbitraires soient réelles; la modification en 

 question s'obtient en écrivant 



■;>A(« . ß , ô\ 

 au lieu de it. Ainsi nous partons de l'expression: 



-f-co +x +00 -fco 



"■• ^--''rb] U—(/q^ + /T:^). '="""'*'""'•'«'/«%.(<! 



—00 —ce — Xi 



