Equations aux dérivées partielles a quatre dimensions etc. 33 



leurs arbitraires de x , y , z , n s'annule au plus de l'ordre ^ . La re- 

 tention de l'imaginaire is n'a donc d'autre mission que celle de fixer 

 les branches /?„ qui doivent rentrer dans l'expression. On écrira donc, 

 pour un s assez petit: 



va F = X -L fV ¥""'-'' {ß„o) då 



^ ^ '■'■-' +in'J ^ xfr (^„ , ô) - yfV iß, , 



à) 



Le choix des branches /S,( pour une valeur particulière de å ne pré- 

 sente de difficulté que pour celles qui sont réelles pour 6 = 0. Mais 

 on tire de 2) qu'en posant 



ß, = ß', + ■iß", 

 avec ß'\, très petit, on aura en première approximation 



"^^ ' " xmß',,o)-yfr^{ß',,o)' 



On peut tirer de là que V) mène au fond à la même expi-ession des 

 deux côtés de x = 0. Prenons-en la partie réelle, en écrivant pour 

 un moment dans IV 



V 2 l/^«' + üf^ ">/'«> — üf^) ^^^ ''®^^ ^*® /■*«> + Ü ' 



Pour l'intégration relative à /?, il est évident qu'on pourra mettre e = 

 dans les résidus correspondant aux racines ß complexes de /''"'. Mais 

 dans ces pôles 



1 1 



et — 



^(«) + .^Y^ ^^ fia) _ j^f^ 



fournissent les résidus identiques aux signes contraires Donc cet 

 énoncé, 



Une branche ß^^ , rentrant dans V\ ne donne par l'intégration le 

 long des å réels, de contributions réelles à l'expression que dans ces inter- 

 valles de â où la branche est réelle. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. "/a 1921. 5 



