Equations aux deeivees partielles a quatre dimensions etc. 35 

 tandis que le radical rentrant dans l'expression des ß\ , ß'.2 devient 



6') + -^ ]/J-2iBft%. ■ 



L'expression 6) étant continue et bien définie pour :r = 0, on tire de 6') 

 que pour une branche définie et représentée d'une manière continue 

 par un plan tangent variable il faut admettre que le radical et en 

 particulier la petite partie imaginaire associée change de signe des deux 

 côtés de X = . 



En cela, d'abord, on a supposé que {x , // , .:} soit un point voisin 

 d'un cône f^ particulier, et on y a précisé une branche et un plan 

 tangent individuel par le choix du signe de l'expression 



7) xft^ - vrf . 



Mais il n'y a rien qui empêche de s'éloigner de /^ le long de ce plan 

 particulier; du moins tant que l'on ne rencontre pas d'autres branches 

 de /'a qui touchent le plan, on est assuré que 8) reste réel et à signe 

 constant. Cela posé, dépassons x = 0; on conclut que la petite partie 

 imaginaire associée à la valeur réelle ß, restée constante sur le plan, 

 change de signe à ce moment, en vertu de 3), 

 Or, pour 



la relation 



X = a' + ia" , ß = ß' + iß" 

 ax -^ ßy + s + ôH = O 



nous donne 



8) a"x + ß"lj = . 



Si a , ß sont une paire de branches complexes au voisinage de a; = 0, 

 elles ne deviennent pas réelles à la fois pour x = 0, sauf dans des 

 conditions singulières. Car alors leur valeurs réelles définiraient un 

 plan tangent double isolé relatif au /"^ considéré. On en tire que, pour 

 des ô arbitraires, et si a; = n'est pas un plan tangent singulier de F^, 



a" =t= pour X = . 



