80 Nils Zeilon, 



D'autre pari, pour une paire {a , ß) reelle, on a par la formule ana- 

 logue à 3) 



«" = + 



xfi — yfi ' 



a" reste done toujours distinct de zéro. 



En vertu de 8) une brcuiche ß arhUraire est réelle pour x = , 

 et sa partie imaginaire cliange de signe à travers ce plan. 



En particulier, pour retenir dans l'espace entier les mêmes branches 

 ßf, correspondant à un ô particulier, // favt leur associer une partie ima- 

 ginaire négative du côté des x végati/s. 



Ainsi, dans V), remplaçons le résultat relatif aux x<0, par 

 celui obtenu en intégrant autour du demi-plan négatif des ß. On it- 

 trouve la même formule 





xp''''-'-^ß,,,a)do 



1t[ß,,o)-ymß„,o) ' 



valable pour des x quelconques, et, en se reportant à la relation 3), 

 l'expression est fixée partout par la règle suivante, 



(A.) Les branches réelles rentrant dans V" pour une valeur ô arbi- 

 traire doivent être choisies de façon que 



6) xft\ß„ ô) - yfnß,. ô) ^ 



selon (jue pour cette valeur ô 



9) fr{ß,,a) = >^{x, y, z, u, ô)u<0 . 



Il importe avant tout de connaître la connexion des /i„ regardés 

 comme des branches d'une fonction algébrique de «5 et des x , y , z. 

 D'abord, en un point {x , y , z) fixe, la fonction 6) s'annule en certains 

 points de raïuirieation, et on sait qu'elle reste réelle et à signe inva- 

 riable dans l'intervalle inclus entre deux points permutant la même 

 branche ß„ . On verra que la règle (A) suffira pour bien définir le 

 prolongement des /?^, partout dans le domaine d'intégration réel ainsi 

 que dans l'espace des (x , v/ , z) réels. 



