Equations aux devivees pabtielles a quatee dimensions etc. 41 

 Une analyse facile montre que le long de Äj^A^ la fonction 



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change de signe en passant par des valeurs infinies. La discussion des 

 conditions auprès de Â^^O et de OA^ montre alors que les résultats 

 du n" précédent subsistent généralement dans tout l'intérieur du poly- 

 gone avec la stipulation particulière que toutes les fois qtiune tangente 

 coïncide avec ß'-'^\ la branche correspondante, en même temps qu'elle atteint 

 des valeurs infinies, change le signe de sa partie imaginaire. 



Les plans 12) touchent l'ensemble des I\ dont les branches re- 

 spectives restent réelles, et ils forment des lieux singuliers pour la 

 connexion des /?,, dans l'espace. Quand [x , y , z) s'approche d'un tel 

 plan, une certaine branche réelle ß , pour des valeurs arbitraires de ô , 

 va s'éloigner vers l'infini réel pour se retrouver dans l'autre demi-plan 

 complexe de l'autre côté du plan. Il y a donc un certain inconvénient 

 dans ce fait que les branches ne se définissent pas d'une manière unique 

 et monogène pour l'espace entier. 



Quant à l'expression V, elle reste cependant, comme il le faut 

 bien, continue. En effet, le résidu, disparaissant ou apparaissant selon 

 le cas, est évidemment nul. 



Nous verrons d'ailleurs plus tard que la classe d'équations par- 

 ticulièrement en vue est exempte de ces conditions singulières. 



7. Les développements ci-dessus ne dépendent au fond que 

 du déplacement relatif de {x , y , z) et du cône Fj . Il n'y aura 

 donc aucune nouvelle difficulté à rendre valables les résultats pour 

 une variation arbitraire des Fa . On tire, d'une manière générale, la 

 conclusion que, pour un point [x , y , z) ä variation quelconque, assu- 

 jetti seulement à la condition de ne pas franchir les plans P„ , une 

 branche /9^ réelle, introduite dans l'expression V pour des valeurs 

 particulières de x , y ., z , u , ô , y figurera aussi tant qu'elle restera réelle, 

 et elle sera dans ces conditions ideyitique à une branche réelle à prolonge- 

 ment analytique bien précisé par la construction géométrique faite d'une 

 façon continue par rapport à l'ensemble des Få . 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N:o -1. Iiiipr. '«/s 1921. 



