42 Nils Zeilon 



§ 3. 

 Déplacement des points de branchement. 



8. Passons dans le domaine des /5\ , jt^ complexes en faisant 

 franchir r» par (:c , î/ , z). Les développements du n" 8, chapitre II, mon- 

 trent que /:/j , affecté d'une petite partie imaginaire positive à l'intérieur 

 du cône, passe dans une branche complexe à partie imaginaire de même 

 signe. En variant ô , cette racine restera complexe jusqu'à ce qu'on 

 arrive à une nouvelle valeur ô dont le cône coirespondant passe par 

 (a;, î/ , z) et permute la branche avec une autre; à ce moment ß^ de- 

 viendra encore réel sauf à une petite partie imaginaire positive. Le 

 prolongement de la branche se fait donc d'une manière unique aussi 

 au delà des points de ramification; la branche retiendra, tant qu'elle 

 restera finie, le signe de sa partie imaginaire pour des valeurs quelconques 

 réelles des variables, et elle figurera toujours dans V, si elle y rentre 

 pour des valeurs particulières, 



11 suffira donc de prendre une certaine branche dans son do- 

 maine complexe, en la précisant en tout autre point par la disposition 

 des points de ramification. Menons par un point {x , y , z) de r^, la 

 génératrice correspondante, découpant sur l'axe des z la section z^^ ; 

 on a 



^1 = — ^ , (pou'' « = 0) . 



Pour décider de la manière dont ô^ a été projeté dans le domaine 

 complexe, on fera glisser (,x , ?/ , z) le long.de la génératrice, d, res- 

 tera constant, et au voisinage de F on aura 



xm + 2ô'x'Q+ ô''H ^ 0, 



où les coefficients R, Q, H résultent des formules C) du n" 4, cha- 

 pitre II, par la substitution de 



riß, o) + iefr{ß, ô) à nß, 0). 



En négligeant les produits des très petites quantités /"" , -^ , -x— 

 par f, on arrive à 



