Equations aux dérivées paetielles a quatre dimensions etc. 45 



La règle Bj est donc toujours valable; pour l'appliquer à une 

 tangente arbitraire passant par {x , y , s) il suffit de se déplacer 

 jusqu'au voisinage de 1\ seulement il faut renoerser la direclion du 

 déplncemenl trouoé, si par ce passage on a dépassé l'axe des z . 



Dans les conditions de la figuj^, où la section de r coupe Taxe 

 des &, on vérifie facilement ce théorème en faisant glisser la tangente 

 r^-, en emportant avec elle le point Q{x' > 0) , jusqu'à arriver dans 

 la position pointillée dont le point de contact se trouve par rapport au 

 plan f = du même cèté que Q. Cette variation, par les méthodes 

 de la discussion suivante, ne changera pas le signe du déplacement 

 imaginaire. La détermination alors obtenue au voisinage du côté 

 droit de F sera conforme à celle ci-dessus. 



10. Complétons la discussion dans un détail important. Soit 

 dans la fig. 8 la section d'un domaine à courbure hyperbolique; fixons 

 les idées par la supposition d'un point conique double. Les tangentes 

 OA, OB, OC sont des génératrices appartenant au cône Fô^ au sommet 0. 



En vertu de la forme du cône tangent passant par un domaine 

 à courbures opposées (fig. 5, L'" partie), OB et 00 . qui se trouvent 

 des deux côtés d'une tangente d'inflexion, appartiennent à deux bran- 

 ches de P^_ se rencontrant en une arête de rebroussement. En faisant 

 glisser OB sur la surface du cône on arrivera donc à la position de 

 OG après avoir dépassé l'arête, pour les points de laquelle on a 



La formule 13) donne alors une partie imaginaire nulle de dj comme 

 indication de ce que l'approximation est devenue insuffisante. 



Soit maintenant Q un point de OB voisin du point de contact 

 Cg. La figure montre que, relativement à l'autre tangente construite 

 en Q j z^ se trouve du côté des z positifs, c. à. d. ô^ est la plus petite 

 des deux valeurs en Q. Faisons glisser Q sur J"^ , en restant voisin 

 de la courbe de contact, mais sans la francJiir; nous arriverons en Q' 

 après avoir tourné autour de l'angle de rebroussement. La construc- 

 tion des tangentes en Q' fait voir que dans la nouvelle position ôi est 

 devenu le plus grand des deux ô , e. à. d. par les règles ci-dessus et 



en tenant compte du changement de signe du facteur -^pr -. ^i « ioii- 



